Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59250 / 45398
↖ ↑ ↗
← N 48.301467°
W 17.265015°		 ← 203.17 m → N 48.301467°
W 17.262268°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
N 48.299640°
W 17.265015°		 ← 203.18 m →
41 280 m²		 N 48.299640°
W 17.262268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452045440673828 y=0.346363067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452045440673828 × 217)
    floor (0.452045440673828 × 131072)
    floor (59250.5)     		tx = 59250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346363067626953 × 217)
    floor (0.346363067626953 × 131072)
    floor (45398.5)     		ty = 45398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59250 / 45398 ti = "17/59250/45398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59250/45398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59250 ÷ 217
    59250 ÷ 131072     		x = 0.452041625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45398 ÷ 217
    45398 ÷ 131072     		y = 0.346359252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452041625976562 × 2 - 1) × π
    -0.095916748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30133135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346359252929688 × 2 - 1) × π
    0.307281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.965353284548691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30133135} λ = -0.30133135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965353284548691))-π/2
    2×atan(2.62571511721633)-π/2
    2×1.20690797744605-π/2
    2.4138159548921-1.57079632675     		φ = 0.84301963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30133135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.265015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84301963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.301467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59250 KachelY 45398 -0.30133135 0.84301963 -17.265015 48.301467
    Oben rechts KachelX + 1 59251 KachelY 45398 -0.30128341 0.84301963 -17.262268 48.301467
    Unten links KachelX 59250 KachelY + 1 45399 -0.30133135 0.84298774 -17.265015 48.299640
    Unten rechts KachelX + 1 59251 KachelY + 1 45399 -0.30128341 0.84298774 -17.262268 48.299640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84301963-0.84298774) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84301963-0.84298774) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30133135--0.30128341) × cos(0.84301963) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665211239538164 × 6371000     		do = 203.172635092363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30133135--0.30128341) × cos(0.84298774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665235050034645 × 6371000     		du = 203.17990743087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84301963)-sin(0.84298774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665211239538164-0.665235050034645)×R²
    abs(-0.30128341--0.30133135)×2.3810496481258e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3810496481258e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3810496481258e-05×40589641000000     		ar = 41279.5648154259m²