Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59248 / 56688
↖ ↑ ↗
← N 23.604262°
W 17.270508°		 ← 279.81 m → N 23.604262°
W 17.267761°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
N 23.601745°
W 17.270508°		 ← 279.82 m →
78 314 m²		 N 23.601745°
W 17.267761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452030181884766 y=0.432498931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452030181884766 × 217)
    floor (0.452030181884766 × 131072)
    floor (59248.5)     		tx = 59248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432498931884766 × 217)
    floor (0.432498931884766 × 131072)
    floor (56688.5)     		ty = 56688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59248 / 56688 ti = "17/59248/56688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59248/56688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59248 ÷ 217
    59248 ÷ 131072     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56688 ÷ 217
    56688 ÷ 131072     		y = 0.4324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4324951171875 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424145687838257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424145687838257))-π/2
    2×atan(1.52828422999168)-π/2
    2×0.991384206759021-π/2
    1.98276841351804-1.57079632675     		φ = 0.41197209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41197209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.604262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59248 KachelY 56688 -0.30142722 0.41197209 -17.270508 23.604262
    Oben rechts KachelX + 1 59249 KachelY 56688 -0.30137929 0.41197209 -17.267761 23.604262
    Unten links KachelX 59248 KachelY + 1 56689 -0.30142722 0.41192816 -17.270508 23.601745
    Unten rechts KachelX + 1 59249 KachelY + 1 56689 -0.30137929 0.41192816 -17.267761 23.601745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41197209-0.41192816) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41197209-0.41192816) × R
    4.39300000000253e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30137929) × cos(0.41197209) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916332946451931 × 6371000     		do = 279.81328868429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30137929) × cos(0.41192816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.916350535895177 × 6371000     		du = 279.818659832386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41197209)-sin(0.41192816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916332946451931-0.916350535895177)×R²
    abs(-0.30137929--0.30142722)×1.75894432460355e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.75894432460355e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.75894432460355e-05×40589641000000     		ar = 78314.3436506259m²