Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59245 / 85864
↖ ↑ ↗
← S 48.647428°
W 17.278748°		 ← 201.79 m → S 48.647428°
W 17.276001°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.649242°
W 17.278748°		 ← 201.78 m →
40 715 m²		 S 48.649242°
W 17.276001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452007293701172 y=0.655094146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452007293701172 × 217)
    floor (0.452007293701172 × 131072)
    floor (59245.5)     		tx = 59245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655094146728516 × 217)
    floor (0.655094146728516 × 131072)
    floor (85864.5)     		ty = 85864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59245 / 85864 ti = "17/59245/85864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59245/85864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59245 ÷ 217
    59245 ÷ 131072     		x = 0.452003479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85864 ÷ 217
    85864 ÷ 131072     		y = 0.65509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452003479003906 × 2 - 1) × π
    -0.0959930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30157104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974461295476502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30157104} λ = -0.30157104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974461295476502))-π/2
    2×atan(0.377395603531174)-π/2
    2×0.360869269490249-π/2
    0.721738538980498-1.57079632675     		φ = -0.84905779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30157104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.278748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84905779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.647428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59245 KachelY 85864 -0.30157104 -0.84905779 -17.278748 -48.647428
    Oben rechts KachelX + 1 59246 KachelY 85864 -0.30152310 -0.84905779 -17.276001 -48.647428
    Unten links KachelX 59245 KachelY + 1 85865 -0.30157104 -0.84908946 -17.278748 -48.649242
    Unten rechts KachelX + 1 59246 KachelY + 1 85865 -0.30152310 -0.84908946 -17.276001 -48.649242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84905779--0.84908946) × R
    3.16699999999281e-05 × 6371000     		dl = 201.769569999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84905779--0.84908946) × R
    3.16699999999281e-05 × 6371000     		dr = 201.769569999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30157104--0.30152310) × cos(-0.84905779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660690716737581 × 6371000     		do = 201.791951070807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30157104--0.30152310) × cos(-0.84908946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660666943060139 × 6371000     		du = 201.784689977782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84905779)-sin(-0.84908946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660690716737581-0.660666943060139)×R²
    abs(-0.30152310--0.30157104)×2.37736774422181e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37736774422181e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37736774422181e-05×40589641000000     		ar = 40714.7426666644m²