Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59245 / 29745
↖ ↑ ↗
← N 69.610249°
W 17.278748°		 ← 106.41 m → N 69.610249°
W 17.276001°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.609292°
W 17.278748°		 ← 106.42 m →
11 322 m²		 N 69.609292°
W 17.276001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452007293701172 y=0.226940155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452007293701172 × 217)
    floor (0.452007293701172 × 131072)
    floor (59245.5)     		tx = 59245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226940155029297 × 217)
    floor (0.226940155029297 × 131072)
    floor (29745.5)     		ty = 29745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59245 / 29745 ti = "17/59245/29745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59245/29745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59245 ÷ 217
    59245 ÷ 131072     		x = 0.452003479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29745 ÷ 217
    29745 ÷ 131072     		y = 0.226936340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452003479003906 × 2 - 1) × π
    -0.0959930419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30157104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226936340332031 × 2 - 1) × π
    0.546127319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.71570957430143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30157104} λ = -0.30157104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71570957430143))-π/2
    2×atan(5.56061978571839)-π/2
    2×1.39286218002798-π/2
    2.78572436005596-1.57079632675     		φ = 1.21492803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30157104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.278748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21492803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.610249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59245 KachelY 29745 -0.30157104 1.21492803 -17.278748 69.610249
    Oben rechts KachelX + 1 59246 KachelY 29745 -0.30152310 1.21492803 -17.276001 69.610249
    Unten links KachelX 59245 KachelY + 1 29746 -0.30157104 1.21491133 -17.278748 69.609292
    Unten rechts KachelX + 1 59246 KachelY + 1 29746 -0.30152310 1.21491133 -17.276001 69.609292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21492803-1.21491133) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21492803-1.21491133) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30157104--0.30152310) × cos(1.21492803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348404389543454 × 6371000     		do = 106.411668495611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30157104--0.30152310) × cos(1.21491133) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348420043145077 × 6371000     		du = 106.416449508471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21492803)-sin(1.21491133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348404389543454-0.348420043145077)×R²
    abs(-0.30152310--0.30157104)×1.56536016233111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56536016233111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56536016233111e-05×40589641000000     		ar = 11321.9982975452m²