Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59243 / 82651
↖ ↑ ↗
← S 42.478174°
W 17.284241°		 ← 225.26 m → S 42.478174°
W 17.281494°		 →
↑
225.28 m
↓
↑
225.28 m
↓
S 42.480200°
W 17.284241°		 ← 225.25 m →
50 746 m²		 S 42.480200°
W 17.281494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451992034912109 y=0.630580902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451992034912109 × 217)
    floor (0.451992034912109 × 131072)
    floor (59243.5)     		tx = 59243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630580902099609 × 217)
    floor (0.630580902099609 × 131072)
    floor (82651.5)     		ty = 82651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59243 / 82651 ti = "17/59243/82651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59243/82651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59243 ÷ 217
    59243 ÷ 131072     		x = 0.451988220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82651 ÷ 217
    82651 ÷ 131072     		y = 0.630577087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451988220214844 × 2 - 1) × π
    -0.0960235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30166691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630577087402344 × 2 - 1) × π
    -0.261154174804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.820440036997261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30166691} λ = -0.30166691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.820440036997261))-π/2
    2×atan(0.440237890917952)-π/2
    2×0.414706162499445-π/2
    0.82941232499889-1.57079632675     		φ = -0.74138400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30166691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.284241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74138400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.478174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59243 KachelY 82651 -0.30166691 -0.74138400 -17.284241 -42.478174
    Oben rechts KachelX + 1 59244 KachelY 82651 -0.30161897 -0.74138400 -17.281494 -42.478174
    Unten links KachelX 59243 KachelY + 1 82652 -0.30166691 -0.74141936 -17.284241 -42.480200
    Unten rechts KachelX + 1 59244 KachelY + 1 82652 -0.30161897 -0.74141936 -17.281494 -42.480200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74138400--0.74141936) × R
    3.53599999999288e-05 × 6371000     		dl = 225.278559999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74138400--0.74141936) × R
    3.53599999999288e-05 × 6371000     		dr = 225.278559999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30166691--0.30161897) × cos(-0.74138400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737534637305913 × 6371000     		do = 225.262062374903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30166691--0.30161897) × cos(-0.74141936) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.737510757907778 × 6371000     		du = 225.254768992057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74138400)-sin(-0.74141936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737534637305913-0.737510757907778)×R²
    abs(-0.30161897--0.30166691)×2.3879398135862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3879398135862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3879398135862e-05×40589641000000     		ar = 50745.8915183337m²