Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59242 / 38710
↖ ↑ ↗
← N 59.099847°
W 17.286988°		 ← 156.85 m → N 59.099847°
W 17.284241°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.098436°
W 17.286988°		 ← 156.86 m →
24 603 m²		 N 59.098436°
W 17.284241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451984405517578 y=0.295337677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451984405517578 × 217)
    floor (0.451984405517578 × 131072)
    floor (59242.5)     		tx = 59242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295337677001953 × 217)
    floor (0.295337677001953 × 131072)
    floor (38710.5)     		ty = 38710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59242 / 38710 ti = "17/59242/38710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59242/38710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59242 ÷ 217
    59242 ÷ 131072     		x = 0.451980590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38710 ÷ 217
    38710 ÷ 131072     		y = 0.295333862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451980590820312 × 2 - 1) × π
    -0.096038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30171485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295333862304688 × 2 - 1) × π
    0.409332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28595526920763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30171485} λ = -0.30171485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28595526920763))-π/2
    2×atan(3.61812258800127)-π/2
    2×1.30114161664187-π/2
    2.60228323328374-1.57079632675     		φ = 1.03148691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30171485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.286988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03148691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.099847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59242 KachelY 38710 -0.30171485 1.03148691 -17.286988 59.099847
    Oben rechts KachelX + 1 59243 KachelY 38710 -0.30166691 1.03148691 -17.284241 59.099847
    Unten links KachelX 59242 KachelY + 1 38711 -0.30171485 1.03146229 -17.286988 59.098436
    Unten rechts KachelX + 1 59243 KachelY + 1 38711 -0.30166691 1.03146229 -17.284241 59.098436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03148691-1.03146229) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03148691-1.03146229) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30171485--0.30166691) × cos(1.03148691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.513543549892922 × 6371000     		do = 156.84941874817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30171485--0.30166691) × cos(1.03146229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5135646752614 × 6371000     		du = 156.85587097947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03148691)-sin(1.03146229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513543549892922-0.5135646752614)×R²
    abs(-0.30166691--0.30171485)×2.11253684778701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11253684778701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11253684778701e-05×40589641000000     		ar = 24602.9678957698m²