Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59239 / 85854
↖ ↑ ↗
← S 48.629278°
W 17.295227°		 ← 201.86 m → S 48.629278°
W 17.292480°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 48.631093°
W 17.295227°		 ← 201.86 m →
40 742 m²		 S 48.631093°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451961517333984 y=0.655017852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451961517333984 × 217)
    floor (0.451961517333984 × 131072)
    floor (59239.5)     		tx = 59239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655017852783203 × 217)
    floor (0.655017852783203 × 131072)
    floor (85854.5)     		ty = 85854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59239 / 85854 ti = "17/59239/85854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59239/85854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59239 ÷ 217
    59239 ÷ 131072     		x = 0.451957702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85854 ÷ 217
    85854 ÷ 131072     		y = 0.655014038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451957702636719 × 2 - 1) × π
    -0.0960845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30185866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.310028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.973981926480301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30185866} λ = -0.30185866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.973981926480301))-π/2
    2×atan(0.377576558651481)-π/2
    2×0.361027655306083-π/2
    0.722055310612165-1.57079632675     		φ = -0.84874102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30185866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.295227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84874102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.629278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59239 KachelY 85854 -0.30185866 -0.84874102 -17.295227 -48.629278
    Oben rechts KachelX + 1 59240 KachelY 85854 -0.30181072 -0.84874102 -17.292480 -48.629278
    Unten links KachelX 59239 KachelY + 1 85855 -0.30185866 -0.84877270 -17.295227 -48.631093
    Unten rechts KachelX + 1 59240 KachelY + 1 85855 -0.30181072 -0.84877270 -17.292480 -48.631093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84874102--0.84877270) × R
    3.16800000000894e-05 × 6371000     		dl = 201.83328000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84874102--0.84877270) × R
    3.16800000000894e-05 × 6371000     		dr = 201.83328000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30185866--0.30181072) × cos(-0.84874102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660928469592895 × 6371000     		do = 201.864566912579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30185866--0.30181072) × cos(-0.84877270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660904695039947 × 6371000     		du = 201.857305552151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84874102)-sin(-0.84877270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660928469592895-0.660904695039947)×R²
    abs(-0.30181072--0.30185866)×2.37745529479971e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37745529479971e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37745529479971e-05×40589641000000     		ar = 40742.2548671691m²