Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59239 / 38712
↖ ↑ ↗
← N 59.097025°
W 17.295227°		 ← 156.86 m → N 59.097025°
W 17.292480°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.095615°
W 17.295227°		 ← 156.87 m →
24 605 m²		 N 59.095615°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451961517333984 y=0.295352935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451961517333984 × 217)
    floor (0.451961517333984 × 131072)
    floor (59239.5)     		tx = 59239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295352935791016 × 217)
    floor (0.295352935791016 × 131072)
    floor (38712.5)     		ty = 38712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59239 / 38712 ti = "17/59239/38712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59239/38712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59239 ÷ 217
    59239 ÷ 131072     		x = 0.451957702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38712 ÷ 217
    38712 ÷ 131072     		y = 0.29534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451957702636719 × 2 - 1) × π
    -0.0960845947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30185866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29534912109375 × 2 - 1) × π
    0.4093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28585939540839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30185866} λ = -0.30185866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28585939540839))-π/2
    2×atan(3.61777572147061)-π/2
    2×1.30111699794351-π/2
    2.60223399588702-1.57079632675     		φ = 1.03143767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30185866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.295227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03143767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.097025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59239 KachelY 38712 -0.30185866 1.03143767 -17.295227 59.097025
    Oben rechts KachelX + 1 59240 KachelY 38712 -0.30181072 1.03143767 -17.292480 59.097025
    Unten links KachelX 59239 KachelY + 1 38713 -0.30185866 1.03141305 -17.295227 59.095615
    Unten rechts KachelX + 1 59240 KachelY + 1 38713 -0.30181072 1.03141305 -17.292480 59.095615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03143767-1.03141305) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03143767-1.03141305) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30185866--0.30181072) × cos(1.03143767) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513585800318584 × 6371000     		do = 156.862323115874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30185866--0.30181072) × cos(1.03141305) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51360692506446 × 6371000     		du = 156.868775157016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03143767)-sin(1.03141305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513585800318584-0.51360692506446)×R²
    abs(-0.30181072--0.30185866)×2.11247458763442e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11247458763442e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11247458763442e-05×40589641000000     		ar = 24604.9919828086m²