Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59238 / 45409
↖ ↑ ↗
← N 48.281365°
W 17.297973°		 ← 203.21 m → N 48.281365°
W 17.295227°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 48.279537°
W 17.297973°		 ← 203.22 m →
41 300 m²		 N 48.279537°
W 17.295227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451953887939453 y=0.346446990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451953887939453 × 217)
    floor (0.451953887939453 × 131072)
    floor (59238.5)     		tx = 59238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346446990966797 × 217)
    floor (0.346446990966797 × 131072)
    floor (45409.5)     		ty = 45409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59238 / 45409 ti = "17/59238/45409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59238/45409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59238 ÷ 217
    59238 ÷ 131072     		x = 0.451950073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45409 ÷ 217
    45409 ÷ 131072     		y = 0.346443176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451950073242188 × 2 - 1) × π
    -0.096099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30190659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346443176269531 × 2 - 1) × π
    0.307113647460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.96482597865287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30190659} λ = -0.30190659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96482597865287))-π/2
    2×atan(2.62433092713215)-π/2
    2×1.20673255801456-π/2
    2.41346511602912-1.57079632675     		φ = 0.84266879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30190659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.297973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84266879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.281365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59238 KachelY 45409 -0.30190659 0.84266879 -17.297973 48.281365
    Oben rechts KachelX + 1 59239 KachelY 45409 -0.30185866 0.84266879 -17.295227 48.281365
    Unten links KachelX 59238 KachelY + 1 45410 -0.30190659 0.84263689 -17.297973 48.279537
    Unten rechts KachelX + 1 59239 KachelY + 1 45410 -0.30185866 0.84263689 -17.295227 48.279537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84266879-0.84263689) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84266879-0.84263689) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30190659--0.30185866) × cos(0.84266879) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665473155107651 × 6371000     		do = 203.210233554066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30190659--0.30185866) × cos(0.84263689) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665496965623965 × 6371000     		du = 203.217504381663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84266879)-sin(0.84263689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665473155107651-0.665496965623965)×R²
    abs(-0.30185866--0.30190659)×2.3810516313727e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3810516313727e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3810516313727e-05×40589641000000     		ar = 41300.1503416223m²