Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59236 / 29748
↖ ↑ ↗
← N 69.607378°
W 17.303467°		 ← 106.43 m → N 69.607378°
W 17.300720°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.606421°
W 17.303467°		 ← 106.43 m →
11 330 m²		 N 69.606421°
W 17.300720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451938629150391 y=0.226963043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451938629150391 × 217)
    floor (0.451938629150391 × 131072)
    floor (59236.5)     		tx = 59236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226963043212891 × 217)
    floor (0.226963043212891 × 131072)
    floor (29748.5)     		ty = 29748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59236 / 29748 ti = "17/59236/29748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59236/29748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59236 ÷ 217
    59236 ÷ 131072     		x = 0.451934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29748 ÷ 217
    29748 ÷ 131072     		y = 0.226959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226959228515625 × 2 - 1) × π
    0.54608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71556576360257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30200247} λ = -0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71556576360257))-π/2
    2×atan(5.55982016659918)-π/2
    2×1.39283712620024-π/2
    2.78567425240049-1.57079632675     		φ = 1.21487793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21487793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.607378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59236 KachelY 29748 -0.30200247 1.21487793 -17.303467 69.607378
    Oben rechts KachelX + 1 59237 KachelY 29748 -0.30195453 1.21487793 -17.300720 69.607378
    Unten links KachelX 59236 KachelY + 1 29749 -0.30200247 1.21486122 -17.303467 69.606421
    Unten rechts KachelX + 1 59237 KachelY + 1 29749 -0.30195453 1.21486122 -17.300720 69.606421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21487793-1.21486122) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21487793-1.21486122) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30200247--0.30195453) × cos(1.21487793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348451350056807 × 6371000     		do = 106.426011445153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30200247--0.30195453) × cos(1.21486122) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348467012740115 × 6371000     		du = 106.430795231793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21487793)-sin(1.21486122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348451350056807-0.348467012740115)×R²
    abs(-0.30195453--0.30200247)×1.56626833082707e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56626833082707e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56626833082707e-05×40589641000000     		ar = 11330.3050268529m²