Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59235 / 85859
↖ ↑ ↗
← S 48.638354°
W 17.306213°		 ← 201.79 m → S 48.638354°
W 17.303467°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
S 48.640169°
W 17.306213°		 ← 201.78 m →
40 714 m²		 S 48.640169°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451930999755859 y=0.655055999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451930999755859 × 217)
    floor (0.451930999755859 × 131072)
    floor (59235.5)     		tx = 59235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655055999755859 × 217)
    floor (0.655055999755859 × 131072)
    floor (85859.5)     		ty = 85859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59235 / 85859 ti = "17/59235/85859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59235/85859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59235 ÷ 217
    59235 ÷ 131072     		x = 0.451927185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85859 ÷ 217
    85859 ÷ 131072     		y = 0.655052185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451927185058594 × 2 - 1) × π
    -0.0961456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30205040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655052185058594 × 2 - 1) × π
    -0.310104370117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.974221610978401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30205040} λ = -0.30205040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974221610978401))-π/2
    2×atan(0.377486070248293)-π/2
    2×0.36094845527492-π/2
    0.72189691054984-1.57079632675     		φ = -0.84889942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30205040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.306213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84889942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.638354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59235 KachelY 85859 -0.30205040 -0.84889942 -17.306213 -48.638354
    Oben rechts KachelX + 1 59236 KachelY 85859 -0.30200247 -0.84889942 -17.303467 -48.638354
    Unten links KachelX 59235 KachelY + 1 85860 -0.30205040 -0.84893109 -17.306213 -48.640169
    Unten rechts KachelX + 1 59236 KachelY + 1 85860 -0.30200247 -0.84893109 -17.303467 -48.640169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84889942--0.84893109) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84889942--0.84893109) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30205040--0.30200247) × cos(-0.84889942) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660809590195406 × 6371000     		do = 201.786157905427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30205040--0.30200247) × cos(-0.84893109) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.660785819831948 × 6371000     		du = 201.778899338988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84889942)-sin(-0.84893109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660809590195406-0.660785819831948)×R²
    abs(-0.30200247--0.30205040)×2.377036345802e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.377036345802e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.377036345802e-05×40589641000000     		ar = 40713.5740369513m²