Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59234 / 35290
↖ ↑ ↗
← N 63.595005°
W 17.308960°		 ← 135.83 m → N 63.595005°
W 17.306213°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
N 63.593783°
W 17.308960°		 ← 135.83 m →
18 450 m²		 N 63.593783°
W 17.306213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451923370361328 y=0.269245147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451923370361328 × 217)
    floor (0.451923370361328 × 131072)
    floor (59234.5)     		tx = 59234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269245147705078 × 217)
    floor (0.269245147705078 × 131072)
    floor (35290.5)     		ty = 35290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59234 / 35290 ti = "17/59234/35290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59234/35290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59234 ÷ 217
    59234 ÷ 131072     		x = 0.451919555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35290 ÷ 217
    35290 ÷ 131072     		y = 0.269241333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451919555664062 × 2 - 1) × π
    -0.096160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30209834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269241333007812 × 2 - 1) × π
    0.461517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44989946590822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30209834} λ = -0.30209834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44989946590822))-π/2
    2×atan(4.26268594836602)-π/2
    2×1.34036927494307-π/2
    2.68073854988614-1.57079632675     		φ = 1.10994222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30209834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.308960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10994222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.595005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59234 KachelY 35290 -0.30209834 1.10994222 -17.308960 63.595005
    Oben rechts KachelX + 1 59235 KachelY 35290 -0.30205040 1.10994222 -17.306213 63.595005
    Unten links KachelX 59234 KachelY + 1 35291 -0.30209834 1.10992090 -17.308960 63.593783
    Unten rechts KachelX + 1 59235 KachelY + 1 35291 -0.30205040 1.10992090 -17.306213 63.593783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10994222-1.10992090) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dl = 135.829719999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10994222-1.10992090) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dr = 135.829719999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30209834--0.30205040) × cos(1.10994222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444713269469479 × 6371000     		do = 135.826879415603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30209834--0.30205040) × cos(1.10992090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444732365116589 × 6371000     		du = 135.832711717753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10994222)-sin(1.10992090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444713269469479-0.444732365116589)×R²
    abs(-0.30205040--0.30209834)×1.90956471097792e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90956471097792e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90956471097792e-05×40589641000000     		ar = 18449.7231000479m²