Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59233 / 27103
↖ ↑ ↗
← N 71.993427°
W 17.311707°		 ← 94.42 m → N 71.993427°
W 17.308960°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.992578°
W 17.311707°		 ← 94.42 m →
8 915 m²		 N 71.992578°
W 17.308960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451915740966797 y=0.206783294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451915740966797 × 217)
    floor (0.451915740966797 × 131072)
    floor (59233.5)     		tx = 59233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206783294677734 × 217)
    floor (0.206783294677734 × 131072)
    floor (27103.5)     		ty = 27103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59233 / 27103 ti = "17/59233/27103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59233/27103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59233 ÷ 217
    59233 ÷ 131072     		x = 0.451911926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27103 ÷ 217
    27103 ÷ 131072     		y = 0.206779479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451911926269531 × 2 - 1) × π
    -0.0961761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30214628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206779479980469 × 2 - 1) × π
    0.586441040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84235886309762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30214628} λ = -0.30214628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84235886309762))-π/2
    2×atan(6.31140846426506)-π/2
    2×1.41365933482541-π/2
    2.82731866965082-1.57079632675     		φ = 1.25652234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30214628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.311707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25652234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.993427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59233 KachelY 27103 -0.30214628 1.25652234 -17.311707 71.993427
    Oben rechts KachelX + 1 59234 KachelY 27103 -0.30209834 1.25652234 -17.308960 71.993427
    Unten links KachelX 59233 KachelY + 1 27104 -0.30214628 1.25650752 -17.311707 71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 59234 KachelY + 1 27104 -0.30209834 1.25650752 -17.308960 71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25652234-1.25650752) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25652234-1.25650752) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30214628--0.30209834) × cos(1.25652234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309126098910408 × 6371000     		do = 94.4150675129628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30214628--0.30209834) × cos(1.25650752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 94.4193722133196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25652234)-sin(1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309126098910408-0.309140193008558)×R²
    abs(-0.30209834--0.30214628)×1.40940981492865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40940981492865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40940981492865e-05×40589641000000     		ar = 8914.70583704516m²