Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59232 / 85860
↖ ↑ ↗
← S 48.640169°
W 17.314453°		 ← 201.82 m → S 48.640169°
W 17.311707°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
S 48.641984°
W 17.314453°		 ← 201.81 m →
40 733 m²		 S 48.641984°
W 17.311707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451908111572266 y=0.655063629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451908111572266 × 217)
    floor (0.451908111572266 × 131072)
    floor (59232.5)     		tx = 59232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655063629150391 × 217)
    floor (0.655063629150391 × 131072)
    floor (85860.5)     		ty = 85860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59232 / 85860 ti = "17/59232/85860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59232/85860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59232 ÷ 217
    59232 ÷ 131072     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85860 ÷ 217
    85860 ÷ 131072     		y = 0.655059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.31011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974269547878021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974269547878021))-π/2
    2×atan(0.37746797517015)-π/2
    2×0.360932616978285-π/2
    0.72186523395657-1.57079632675     		φ = -0.84893109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84893109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.640169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59232 KachelY 85860 -0.30219422 -0.84893109 -17.314453 -48.640169
    Oben rechts KachelX + 1 59233 KachelY 85860 -0.30214628 -0.84893109 -17.311707 -48.640169
    Unten links KachelX 59232 KachelY + 1 85861 -0.30219422 -0.84896277 -17.314453 -48.641984
    Unten rechts KachelX + 1 59233 KachelY + 1 85861 -0.30214628 -0.84896277 -17.311707 -48.641984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84893109--0.84896277) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dl = 201.833279999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84893109--0.84896277) × R
    3.16799999999784e-05 × 6371000     		dr = 201.833279999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30214628) × cos(-0.84893109) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660785819831948 × 6371000     		do = 201.820998003781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30214628) × cos(-0.84896277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660762041299774 × 6371000     		du = 201.813735427995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84893109)-sin(-0.84896277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660785819831948-0.660762041299774)×R²
    abs(-0.30214628--0.30219422)×2.37785321732797e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37785321732797e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37785321732797e-05×40589641000000     		ar = 40733.4610887604m²