Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59232 / 38880
↖ ↑ ↗
← N 58.859224°
W 17.314453°		 ← 157.95 m → N 58.859224°
W 17.311707°		 →
↑
157.94 m
↓
↑
157.94 m
↓
N 58.857803°
W 17.314453°		 ← 157.96 m →
24 946 m²		 N 58.857803°
W 17.311707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451908111572266 y=0.296634674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451908111572266 × 217)
    floor (0.451908111572266 × 131072)
    floor (59232.5)     		tx = 59232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296634674072266 × 217)
    floor (0.296634674072266 × 131072)
    floor (38880.5)     		ty = 38880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59232 / 38880 ti = "17/59232/38880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59232/38880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59232 ÷ 217
    59232 ÷ 131072     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38880 ÷ 217
    38880 ÷ 131072     		y = 0.296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296630859375 × 2 - 1) × π
    0.40673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27780599627222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27780599627222))-π/2
    2×atan(3.58875733476322)-π/2
    2×1.29904178641985-π/2
    2.5980835728397-1.57079632675     		φ = 1.02728725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02728725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.859224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59232 KachelY 38880 -0.30219422 1.02728725 -17.314453 58.859224
    Oben rechts KachelX + 1 59233 KachelY 38880 -0.30214628 1.02728725 -17.311707 58.859224
    Unten links KachelX 59232 KachelY + 1 38881 -0.30219422 1.02726246 -17.314453 58.857803
    Unten rechts KachelX + 1 59233 KachelY + 1 38881 -0.30214628 1.02726246 -17.311707 58.857803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02728725-1.02726246) × R
    2.47900000001078e-05 × 6371000     		dl = 157.937090000687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02728725-1.02726246) × R
    2.47900000001078e-05 × 6371000     		dr = 157.937090000687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30214628) × cos(1.02728725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517142585672466 × 6371000     		do = 157.948656914606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30214628) × cos(1.02726246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517163803256257 × 6371000     		du = 157.955137310836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02728725)-sin(1.02726246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517142585672466-0.517163803256257)×R²
    abs(-0.30214628--0.30219422)×2.12175837905892e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12175837905892e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12175837905892e-05×40589641000000     		ar = 24946.4629912745m²