Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59231 / 38713
↖ ↑ ↗
← N 59.095615°
W 17.317200°		 ← 156.84 m → N 59.095615°
W 17.314453°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.094204°
W 17.317200°		 ← 156.84 m →
24 601 m²		 N 59.094204°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451900482177734 y=0.295360565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451900482177734 × 217)
    floor (0.451900482177734 × 131072)
    floor (59231.5)     		tx = 59231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295360565185547 × 217)
    floor (0.295360565185547 × 131072)
    floor (38713.5)     		ty = 38713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59231 / 38713 ti = "17/59231/38713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59231/38713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59231 ÷ 217
    59231 ÷ 131072     		x = 0.451896667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38713 ÷ 217
    38713 ÷ 131072     		y = 0.295356750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451896667480469 × 2 - 1) × π
    -0.0962066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30224215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295356750488281 × 2 - 1) × π
    0.409286499023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28581145850877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30224215} λ = -0.30224215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28581145850877))-π/2
    2×atan(3.61760230067567)-π/2
    2×1.30110468783485-π/2
    2.60220937566969-1.57079632675     		φ = 1.03141305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30224215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.317200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03141305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.095615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59231 KachelY 38713 -0.30224215 1.03141305 -17.317200 59.095615
    Oben rechts KachelX + 1 59232 KachelY 38713 -0.30219422 1.03141305 -17.314453 59.095615
    Unten links KachelX 59231 KachelY + 1 38714 -0.30224215 1.03138843 -17.317200 59.094204
    Unten rechts KachelX + 1 59232 KachelY + 1 38714 -0.30219422 1.03138843 -17.314453 59.094204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03141305-1.03138843) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03141305-1.03138843) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30224215--0.30219422) × cos(1.03141305) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51360692506446 × 6371000     		do = 156.836053259656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30224215--0.30219422) × cos(1.03138843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.513628049499016 × 6371000     		du = 156.842503859874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03141305)-sin(1.03138843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51360692506446-0.513628049499016)×R²
    abs(-0.30219422--0.30224215)×2.11244345563744e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.11244345563744e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.11244345563744e-05×40589641000000     		ar = 24600.8713372609m²