Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59230 / 85846
↖ ↑ ↗
← S 48.614754°
W 17.319946°		 ← 201.92 m → S 48.614754°
W 17.317200°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
S 48.616570°
W 17.319946°		 ← 201.92 m →
40 767 m²		 S 48.616570°
W 17.317200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451892852783203 y=0.654956817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451892852783203 × 217)
    floor (0.451892852783203 × 131072)
    floor (59230.5)     		tx = 59230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654956817626953 × 217)
    floor (0.654956817626953 × 131072)
    floor (85846.5)     		ty = 85846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59230 / 85846 ti = "17/59230/85846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59230/85846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59230 ÷ 217
    59230 ÷ 131072     		x = 0.451889038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85846 ÷ 217
    85846 ÷ 131072     		y = 0.654953002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451889038085938 × 2 - 1) × π
    -0.096221923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30229009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654953002929688 × 2 - 1) × π
    -0.309906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.97359843128334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30229009} λ = -0.30229009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97359843128334))-π/2
    2×atan(0.37772138521658)-π/2
    2×0.361154404990082-π/2
    0.722308809980164-1.57079632675     		φ = -0.84848752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30229009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.319946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84848752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.614754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59230 KachelY 85846 -0.30229009 -0.84848752 -17.319946 -48.614754
    Oben rechts KachelX + 1 59231 KachelY 85846 -0.30224215 -0.84848752 -17.317200 -48.614754
    Unten links KachelX 59230 KachelY + 1 85847 -0.30229009 -0.84851921 -17.319946 -48.616570
    Unten rechts KachelX + 1 59231 KachelY + 1 85847 -0.30224215 -0.84851921 -17.317200 -48.616570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84848752--0.84851921) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dl = 201.896989999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84848752--0.84851921) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dr = 201.896989999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30229009--0.30224215) × cos(-0.84848752) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661118687151741 × 6371000     		do = 201.922664251251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30229009--0.30224215) × cos(-0.84851921) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661094910404276 × 6371000     		du = 201.915402220561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84848752)-sin(-0.84851921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661118687151741-0.661094910404276)×R²
    abs(-0.30224215--0.30229009)×2.37767474651207e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37767474651207e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37767474651207e-05×40589641000000     		ar = 40766.8450372778m²