Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59229 / 45410
↖ ↑ ↗
← N 48.279537°
W 17.322693°		 ← 203.26 m → N 48.279537°
W 17.319946°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
N 48.277710°
W 17.322693°		 ← 203.27 m →
41 310 m²		 N 48.277710°
W 17.319946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451885223388672 y=0.346454620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451885223388672 × 217)
    floor (0.451885223388672 × 131072)
    floor (59229.5)     		tx = 59229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346454620361328 × 217)
    floor (0.346454620361328 × 131072)
    floor (45410.5)     		ty = 45410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59229 / 45410 ti = "17/59229/45410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59229/45410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59229 ÷ 217
    59229 ÷ 131072     		x = 0.451881408691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45410 ÷ 217
    45410 ÷ 131072     		y = 0.346450805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451881408691406 × 2 - 1) × π
    -0.0962371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30233803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346450805664062 × 2 - 1) × π
    0.307098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.96477804175325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30233803} λ = -0.30233803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96477804175325))-π/2
    2×atan(2.62420512785916)-π/2
    2×1.20671660736927-π/2
    2.41343321473854-1.57079632675     		φ = 0.84263689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30233803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.322693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84263689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.279537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59229 KachelY 45410 -0.30233803 0.84263689 -17.322693 48.279537
    Oben rechts KachelX + 1 59230 KachelY 45410 -0.30229009 0.84263689 -17.319946 48.279537
    Unten links KachelX 59229 KachelY + 1 45411 -0.30233803 0.84260499 -17.322693 48.277710
    Unten rechts KachelX + 1 59230 KachelY + 1 45411 -0.30229009 0.84260499 -17.319946 48.277710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84263689-0.84260499) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84263689-0.84260499) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30233803--0.30229009) × cos(0.84263689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665496965623965 × 6371000     		do = 203.259903193321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30233803--0.30229009) × cos(0.84260499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665520775463063 × 6371000     		du = 203.267175331046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84263689)-sin(0.84260499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665496965623965-0.665520775463063)×R²
    abs(-0.30229009--0.30233803)×2.38098390974439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38098390974439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38098390974439e-05×40589641000000     		ar = 41310.2450791001m²