Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59228 / 45413
↖ ↑ ↗
← N 48.274054°
W 17.325439°		 ← 203.24 m → N 48.274054°
W 17.322693°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 48.272225°
W 17.325439°		 ← 203.25 m →
41 319 m²		 N 48.272225°
W 17.322693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451877593994141 y=0.346477508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451877593994141 × 217)
    floor (0.451877593994141 × 131072)
    floor (59228.5)     		tx = 59228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346477508544922 × 217)
    floor (0.346477508544922 × 131072)
    floor (45413.5)     		ty = 45413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59228 / 45413 ti = "17/59228/45413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59228/45413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59228 ÷ 217
    59228 ÷ 131072     		x = 0.451873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45413 ÷ 217
    45413 ÷ 131072     		y = 0.346473693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.09625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30238596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346473693847656 × 2 - 1) × π
    0.307052612304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.96463423105439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30238596} λ = -0.30238596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96463423105439))-π/2
    2×atan(2.62382776622074)-π/2
    2×1.20666875200901-π/2
    2.41333750401802-1.57079632675     		φ = 0.84254118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30238596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.325439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84254118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.274054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59228 KachelY 45413 -0.30238596 0.84254118 -17.325439 48.274054
    Oben rechts KachelX + 1 59229 KachelY 45413 -0.30233803 0.84254118 -17.322693 48.274054
    Unten links KachelX 59228 KachelY + 1 45414 -0.30238596 0.84250927 -17.325439 48.272225
    Unten rechts KachelX + 1 59229 KachelY + 1 45414 -0.30233803 0.84250927 -17.322693 48.272225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84254118-0.84250927) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dl = 203.298610000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84254118-0.84250927) × R
    3.19100000000239e-05 × 6371000     		dr = 203.298610000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30238596--0.30233803) × cos(0.84254118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66556840057288 × 6371000     		do = 203.239317902912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30238596--0.30233803) × cos(0.84250927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		du = 203.24659018218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84254118)-sin(0.84250927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66556840057288-0.665592215843127)×R²
    abs(-0.30233803--0.30238596)×2.3815270246863e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3815270246863e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3815270246863e-05×40589641000000     		ar = 41319.0100526167m²