Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59228 / 38748
↖ ↑ ↗
← N 59.046206°
W 17.325439°		 ← 157.06 m → N 59.046206°
W 17.322693°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.044793°
W 17.325439°		 ← 157.07 m →
24 666 m²		 N 59.044793°
W 17.322693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451877593994141 y=0.295627593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451877593994141 × 217)
    floor (0.451877593994141 × 131072)
    floor (59228.5)     		tx = 59228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295627593994141 × 217)
    floor (0.295627593994141 × 131072)
    floor (38748.5)     		ty = 38748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59228 / 38748 ti = "17/59228/38748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59228/38748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59228 ÷ 217
    59228 ÷ 131072     		x = 0.451873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38748 ÷ 217
    38748 ÷ 131072     		y = 0.295623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.09625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30238596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295623779296875 × 2 - 1) × π
    0.40875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28413366702206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30238596} λ = -0.30238596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28413366702206))-π/2
    2×atan(3.61153780723367)-π/2
    2×1.30067351494302-π/2
    2.60134702988604-1.57079632675     		φ = 1.03055070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30238596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.325439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03055070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.046206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59228 KachelY 38748 -0.30238596 1.03055070 -17.325439 59.046206
    Oben rechts KachelX + 1 59229 KachelY 38748 -0.30233803 1.03055070 -17.322693 59.046206
    Unten links KachelX 59228 KachelY + 1 38749 -0.30238596 1.03052605 -17.325439 59.044793
    Unten rechts KachelX + 1 59229 KachelY + 1 38749 -0.30233803 1.03052605 -17.322693 59.044793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03055070-1.03052605) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03055070-1.03052605) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30238596--0.30233803) × cos(1.03055070) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.514346652375792 × 6371000     		do = 157.061937893272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30238596--0.30233803) × cos(1.03052605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.514367791624945 × 6371000     		du = 157.068393017306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03055070)-sin(1.03052605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514346652375792-0.514367791624945)×R²
    abs(-0.30233803--0.30238596)×2.11392491520357e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11392491520357e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11392491520357e-05×40589641000000     		ar = 24666.3224701103m²