Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59226 / 38898
↖ ↑ ↗
← N 58.833648°
W 17.330933°		 ← 158.07 m → N 58.833648°
W 17.328186°		 →
↑
158.06 m
↓
↑
158.06 m
↓
N 58.832226°
W 17.330933°		 ← 158.07 m →
24 985 m²		 N 58.832226°
W 17.328186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451862335205078 y=0.296772003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451862335205078 × 217)
    floor (0.451862335205078 × 131072)
    floor (59226.5)     		tx = 59226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296772003173828 × 217)
    floor (0.296772003173828 × 131072)
    floor (38898.5)     		ty = 38898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59226 / 38898 ti = "17/59226/38898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59226/38898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59226 ÷ 217
    59226 ÷ 131072     		x = 0.451858520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38898 ÷ 217
    38898 ÷ 131072     		y = 0.296768188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451858520507812 × 2 - 1) × π
    -0.096282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30248184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296768188476562 × 2 - 1) × π
    0.406463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27694313207906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30248184} λ = -0.30248184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27694313207906))-π/2
    2×atan(3.58566206015397)-π/2
    2×1.2988185921087-π/2
    2.59763718421741-1.57079632675     		φ = 1.02684086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30248184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.330933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02684086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.833648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59226 KachelY 38898 -0.30248184 1.02684086 -17.330933 58.833648
    Oben rechts KachelX + 1 59227 KachelY 38898 -0.30243390 1.02684086 -17.328186 58.833648
    Unten links KachelX 59226 KachelY + 1 38899 -0.30248184 1.02681605 -17.330933 58.832226
    Unten rechts KachelX + 1 59227 KachelY + 1 38899 -0.30243390 1.02681605 -17.328186 58.832226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02684086-1.02681605) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dl = 158.064509999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02684086-1.02681605) × R
    2.48099999999862e-05 × 6371000     		dr = 158.064509999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30248184--0.30243390) × cos(1.02684086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517524599007225 × 6371000     		do = 158.065333620064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30248184--0.30243390) × cos(1.02681605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517545827979191 × 6371000     		du = 158.071817494536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02684086)-sin(1.02681605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517524599007225-0.517545827979191)×R²
    abs(-0.30243390--0.30248184)×2.12289719652148e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12289719652148e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12289719652148e-05×40589641000000     		ar = 24985.0319431603m²