Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59224 / 38888
↖ ↑ ↗
← N 58.847859°
W 17.336426°		 ← 158 m → N 58.847859°
W 17.333679°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.846438°
W 17.336426°		 ← 158.01 m →
24 965 m²		 N 58.846438°
W 17.333679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451847076416016 y=0.296695709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451847076416016 × 217)
    floor (0.451847076416016 × 131072)
    floor (59224.5)     		tx = 59224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296695709228516 × 217)
    floor (0.296695709228516 × 131072)
    floor (38888.5)     		ty = 38888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59224 / 38888 ti = "17/59224/38888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59224/38888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59224 ÷ 217
    59224 ÷ 131072     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38888 ÷ 217
    38888 ÷ 131072     		y = 0.29669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29669189453125 × 2 - 1) × π
    0.4066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27742250107526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27742250107526))-π/2
    2×atan(3.58738132742525)-π/2
    2×1.29894260929525-π/2
    2.5978852185905-1.57079632675     		φ = 1.02708889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02708889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.847859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59224 KachelY 38888 -0.30257771 1.02708889 -17.336426 58.847859
    Oben rechts KachelX + 1 59225 KachelY 38888 -0.30252977 1.02708889 -17.333679 58.847859
    Unten links KachelX 59224 KachelY + 1 38889 -0.30257771 1.02706409 -17.336426 58.846438
    Unten rechts KachelX + 1 59225 KachelY + 1 38889 -0.30252977 1.02706409 -17.333679 58.846438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02708889-1.02706409) × R
    2.4799999999825e-05 × 6371000     		dl = 158.000799998885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02708889-1.02706409) × R
    2.4799999999825e-05 × 6371000     		dr = 158.000799998885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30252977) × cos(1.02708889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517312351674968 × 6371000     		do = 158.000507821547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30252977) × cos(1.02706409) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517333575273159 × 6371000     		du = 158.00699005473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02708889)-sin(1.02706409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517312351674968-0.517333575273159)×R²
    abs(-0.30252977--0.30257771)×2.12235981909004e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12235981909004e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12235981909004e-05×40589641000000     		ar = 24964.7187364376m²