Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59224 / 38887
↖ ↑ ↗
← N 58.849280°
W 17.336426°		 ← 157.99 m → N 58.849280°
W 17.333679°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.847859°
W 17.336426°		 ← 158 m →
24 964 m²		 N 58.847859°
W 17.333679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451847076416016 y=0.296688079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451847076416016 × 217)
    floor (0.451847076416016 × 131072)
    floor (59224.5)     		tx = 59224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296688079833984 × 217)
    floor (0.296688079833984 × 131072)
    floor (38887.5)     		ty = 38887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59224 / 38887 ti = "17/59224/38887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59224/38887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59224 ÷ 217
    59224 ÷ 131072     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38887 ÷ 217
    38887 ÷ 131072     		y = 0.296684265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296684265136719 × 2 - 1) × π
    0.406631469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27747043797488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27747043797488))-π/2
    2×atan(3.58755329948571)-π/2
    2×1.29895500821602-π/2
    2.59791001643204-1.57079632675     		φ = 1.02711369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02711369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.849280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59224 KachelY 38887 -0.30257771 1.02711369 -17.336426 58.849280
    Oben rechts KachelX + 1 59225 KachelY 38887 -0.30252977 1.02711369 -17.333679 58.849280
    Unten links KachelX 59224 KachelY + 1 38888 -0.30257771 1.02708889 -17.336426 58.847859
    Unten rechts KachelX + 1 59225 KachelY + 1 38888 -0.30252977 1.02708889 -17.333679 58.847859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02711369-1.02708889) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dl = 158.000800000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02711369-1.02708889) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dr = 158.000800000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30252977) × cos(1.02711369) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517291127758609 × 6371000     		do = 157.994025491187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30252977) × cos(1.02708889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.517312351674968 × 6371000     		du = 158.000507821547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02711369)-sin(1.02708889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517291127758609-0.517312351674968)×R²
    abs(-0.30252977--0.30257771)×2.12239163590588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12239163590588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12239163590588e-05×40589641000000     		ar = 24963.6945307202m²