Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59219 / 38884
↖ ↑ ↗
← N 58.853542°
W 17.350158°		 ← 157.94 m → N 58.853542°
W 17.347412°		 →
↑
158 m
↓
↑
158 m
↓
N 58.852121°
W 17.350158°		 ← 157.95 m →
24 955 m²		 N 58.852121°
W 17.347412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451808929443359 y=0.296665191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451808929443359 × 217)
    floor (0.451808929443359 × 131072)
    floor (59219.5)     		tx = 59219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296665191650391 × 217)
    floor (0.296665191650391 × 131072)
    floor (38884.5)     		ty = 38884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59219 / 38884 ti = "17/59219/38884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59219/38884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59219 ÷ 217
    59219 ÷ 131072     		x = 0.451805114746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38884 ÷ 217
    38884 ÷ 131072     		y = 0.296661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451805114746094 × 2 - 1) × π
    -0.0963897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30281739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296661376953125 × 2 - 1) × π
    0.40667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27761424867374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30281739} λ = -0.30281739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27761424867374))-π/2
    2×atan(3.58806926513271)-π/2
    2×1.29899220192646-π/2
    2.59798440385292-1.57079632675     		φ = 1.02718808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30281739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.350158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02718808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.853542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59219 KachelY 38884 -0.30281739 1.02718808 -17.350158 58.853542
    Oben rechts KachelX + 1 59220 KachelY 38884 -0.30276946 1.02718808 -17.347412 58.853542
    Unten links KachelX 59219 KachelY + 1 38885 -0.30281739 1.02716328 -17.350158 58.852121
    Unten rechts KachelX + 1 59220 KachelY + 1 38885 -0.30276946 1.02716328 -17.347412 58.852121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02718808-1.02716328) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dl = 158.000800000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02718808-1.02716328) × R
    2.4800000000047e-05 × 6371000     		dr = 158.000800000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30281739--0.30276946) × cos(1.02718808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.517227462659136 × 6371000     		do = 157.94162796944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30281739--0.30276946) × cos(1.02716328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.517248687529792 × 6371000     		du = 157.94810923903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02718808)-sin(1.02716328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517227462659136-0.517248687529792)×R²
    abs(-0.30276946--0.30281739)×2.12248706557006e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12248706557006e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12248706557006e-05×40589641000000     		ar = 24955.4155966685m²