Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59218 / 85882
↖ ↑ ↗
← S 48.680081°
W 17.352905°		 ← 201.66 m → S 48.680081°
W 17.350158°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 48.681894°
W 17.352905°		 ← 201.65 m →
40 663 m²		 S 48.681894°
W 17.350158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451801300048828 y=0.655231475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451801300048828 × 217)
    floor (0.451801300048828 × 131072)
    floor (59218.5)     		tx = 59218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655231475830078 × 217)
    floor (0.655231475830078 × 131072)
    floor (85882.5)     		ty = 85882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59218 / 85882 ti = "17/59218/85882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59218/85882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59218 ÷ 217
    59218 ÷ 131072     		x = 0.451797485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85882 ÷ 217
    85882 ÷ 131072     		y = 0.655227661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451797485351562 × 2 - 1) × π
    -0.096405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30286533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655227661132812 × 2 - 1) × π
    -0.310455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.975324159669662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30286533} λ = -0.30286533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975324159669662))-π/2
    2×atan(0.377070102829876)-π/2
    2×0.360584318617457-π/2
    0.721168637234915-1.57079632675     		φ = -0.84962769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30286533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.352905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84962769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.680081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59218 KachelY 85882 -0.30286533 -0.84962769 -17.352905 -48.680081
    Oben rechts KachelX + 1 59219 KachelY 85882 -0.30281739 -0.84962769 -17.350158 -48.680081
    Unten links KachelX 59218 KachelY + 1 85883 -0.30286533 -0.84965934 -17.352905 -48.681894
    Unten rechts KachelX + 1 59219 KachelY + 1 85883 -0.30281739 -0.84965934 -17.350158 -48.681894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84962769--0.84965934) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dl = 201.642149999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84962769--0.84965934) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dr = 201.642149999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30286533--0.30281739) × cos(-0.84962769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660262809344464 × 6371000     		do = 201.661257138379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30286533--0.30281739) × cos(-0.84965934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.660239038767578 × 6371000     		du = 201.653996992344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84962769)-sin(-0.84965934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660262809344464-0.660239038767578)×R²
    abs(-0.30281739--0.30286533)×2.3770576885962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3770576885962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3770576885962e-05×40589641000000     		ar = 40662.67748875m²