Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59216 / 81743
↖ ↑ ↗
← S 40.611867°
W 17.358399°		 ← 231.86 m → S 40.611867°
W 17.355652°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
S 40.613952°
W 17.358399°		 ← 231.85 m →
53 754 m²		 S 40.613952°
W 17.355652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451786041259766 y=0.623653411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451786041259766 × 217)
    floor (0.451786041259766 × 131072)
    floor (59216.5)     		tx = 59216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623653411865234 × 217)
    floor (0.623653411865234 × 131072)
    floor (81743.5)     		ty = 81743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59216 / 81743 ti = "17/59216/81743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59216/81743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59216 ÷ 217
    59216 ÷ 131072     		x = 0.4517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81743 ÷ 217
    81743 ÷ 131072     		y = 0.623649597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30296121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623649597167969 × 2 - 1) × π
    -0.247299194335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.77691333214225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30296121} λ = -0.30296121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77691333214225))-π/2
    2×atan(0.459823144390544)-π/2
    2×0.430992762273694-π/2
    0.861985524547389-1.57079632675     		φ = -0.70881080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30296121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.358399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70881080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.611867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59216 KachelY 81743 -0.30296121 -0.70881080 -17.358399 -40.611867
    Oben rechts KachelX + 1 59217 KachelY 81743 -0.30291327 -0.70881080 -17.355652 -40.611867
    Unten links KachelX 59216 KachelY + 1 81744 -0.30296121 -0.70884719 -17.358399 -40.613952
    Unten rechts KachelX + 1 59217 KachelY + 1 81744 -0.30291327 -0.70884719 -17.355652 -40.613952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70881080--0.70884719) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70881080--0.70884719) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30296121--0.30291327) × cos(-0.70881080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759136500291957 × 6371000     		do = 231.859827362529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30296121--0.30291327) × cos(-0.70884719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759112812393264 × 6371000     		du = 231.852592468542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70881080)-sin(-0.70884719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759136500291957-0.759112812393264)×R²
    abs(-0.30291327--0.30296121)×2.36878986927813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36878986927813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36878986927813e-05×40589641000000     		ar = 53753.7036933738m²