Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59214 / 38920
↖ ↑ ↗
← N 58.802362°
W 17.363892°		 ← 158.21 m → N 58.802362°
W 17.361145°		 →
↑
158.19 m
↓
↑
158.19 m
↓
N 58.800939°
W 17.363892°		 ← 158.21 m →
25 028 m²		 N 58.800939°
W 17.361145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451770782470703 y=0.296939849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451770782470703 × 217)
    floor (0.451770782470703 × 131072)
    floor (59214.5)     		tx = 59214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296939849853516 × 217)
    floor (0.296939849853516 × 131072)
    floor (38920.5)     		ty = 38920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59214 / 38920 ti = "17/59214/38920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59214/38920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59214 ÷ 217
    59214 ÷ 131072     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38920 ÷ 217
    38920 ÷ 131072     		y = 0.29693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29693603515625 × 2 - 1) × π
    0.4061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27588852028741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27588852028741))-π/2
    2×atan(3.58188257196119)-π/2
    2×1.29854557518238-π/2
    2.59709115036477-1.57079632675     		φ = 1.02629482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02629482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.802362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59214 KachelY 38920 -0.30305708 1.02629482 -17.363892 58.802362
    Oben rechts KachelX + 1 59215 KachelY 38920 -0.30300914 1.02629482 -17.361145 58.802362
    Unten links KachelX 59214 KachelY + 1 38921 -0.30305708 1.02626999 -17.363892 58.800939
    Unten rechts KachelX + 1 59215 KachelY + 1 38921 -0.30300914 1.02626999 -17.361145 58.800939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02629482-1.02626999) × R
    2.48299999998647e-05 × 6371000     		dl = 158.191929999138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02629482-1.02626999) × R
    2.48299999998647e-05 × 6371000     		dr = 158.191929999138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30300914) × cos(1.02629482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517991750965945 × 6371000     		do = 158.208013852566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30300914) × cos(1.02626999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.518012990031021 × 6371000     		du = 158.214500809733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02629482)-sin(1.02626999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517991750965945-0.518012990031021)×R²
    abs(-0.30300914--0.30305708)×2.12390650755623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12390650755623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12390650755623e-05×40589641000000     		ar = 25027.7441461156m²