Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59214 / 38882
↖ ↑ ↗
← N 58.856382°
W 17.363892°		 ← 157.96 m → N 58.856382°
W 17.361145°		 →
↑
157.94 m
↓
↑
157.94 m
↓
N 58.854962°
W 17.363892°		 ← 157.97 m →
24 949 m²		 N 58.854962°
W 17.361145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451770782470703 y=0.296649932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451770782470703 × 217)
    floor (0.451770782470703 × 131072)
    floor (59214.5)     		tx = 59214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296649932861328 × 217)
    floor (0.296649932861328 × 131072)
    floor (38882.5)     		ty = 38882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59214 / 38882 ti = "17/59214/38882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59214/38882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59214 ÷ 217
    59214 ÷ 131072     		x = 0.451766967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38882 ÷ 217
    38882 ÷ 131072     		y = 0.296646118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451766967773438 × 2 - 1) × π
    -0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296646118164062 × 2 - 1) × π
    0.406707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27771012247298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30305708} λ = -0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27771012247298))-π/2
    2×atan(3.588413283456)-π/2
    2×1.29901699519033-π/2
    2.59803399038066-1.57079632675     		φ = 1.02723766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02723766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.856382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59214 KachelY 38882 -0.30305708 1.02723766 -17.363892 58.856382
    Oben rechts KachelX + 1 59215 KachelY 38882 -0.30300914 1.02723766 -17.361145 58.856382
    Unten links KachelX 59214 KachelY + 1 38883 -0.30305708 1.02721287 -17.363892 58.854962
    Unten rechts KachelX + 1 59215 KachelY + 1 38883 -0.30300914 1.02721287 -17.361145 58.854962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02723766-1.02721287) × R
    2.47899999998857e-05 × 6371000     		dl = 157.937089999272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02723766-1.02721287) × R
    2.47899999998857e-05 × 6371000     		dr = 157.937089999272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30305708--0.30300914) × cos(1.02723766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517185029080963 × 6371000     		do = 157.961620223871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30305708--0.30300914) × cos(1.02721287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.517206246028973 × 6371000     		du = 157.968100425917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02723766)-sin(1.02721287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517185029080963-0.517206246028973)×R²
    abs(-0.30300914--0.30305708)×2.12169480092728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12169480092728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12169480092728e-05×40589641000000     		ar = 24948.5103631216m²