Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59211 / 85877
↖ ↑ ↗
← S 48.671013°
W 17.372131°		 ← 201.70 m → S 48.671013°
W 17.369385°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
S 48.672827°
W 17.372131°		 ← 201.69 m →
40 683 m²		 S 48.672827°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451747894287109 y=0.655193328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451747894287109 × 217)
    floor (0.451747894287109 × 131072)
    floor (59211.5)     		tx = 59211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655193328857422 × 217)
    floor (0.655193328857422 × 131072)
    floor (85877.5)     		ty = 85877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59211 / 85877 ti = "17/59211/85877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59211/85877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59211 ÷ 217
    59211 ÷ 131072     		x = 0.451744079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85877 ÷ 217
    85877 ÷ 131072     		y = 0.655189514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451744079589844 × 2 - 1) × π
    -0.0965118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30320089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655189514160156 × 2 - 1) × π
    -0.310379028320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.975084475171562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30320089} λ = -0.30320089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975084475171562))-π/2
    2×atan(0.377160491520172)-π/2
    2×0.360663453119544-π/2
    0.721326906239087-1.57079632675     		φ = -0.84946942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30320089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.372131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84946942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.671013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59211 KachelY 85877 -0.30320089 -0.84946942 -17.372131 -48.671013
    Oben rechts KachelX + 1 59212 KachelY 85877 -0.30315295 -0.84946942 -17.369385 -48.671013
    Unten links KachelX 59211 KachelY + 1 85878 -0.30320089 -0.84950108 -17.372131 -48.672827
    Unten rechts KachelX + 1 59212 KachelY + 1 85878 -0.30315295 -0.84950108 -17.369385 -48.672827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84946942--0.84950108) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84946942--0.84950108) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30320089--0.30315295) × cos(-0.84946942) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660381667326018 × 6371000     		do = 201.697559425584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30320089--0.30315295) × cos(-0.84950108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660357892547279 × 6371000     		du = 201.690297996194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84946942)-sin(-0.84950108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660381667326018-0.660357892547279)×R²
    abs(-0.30315295--0.30320089)×2.37747787396048e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37747787396048e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37747787396048e-05×40589641000000     		ar = 40682.8473508942m²