Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59209 / 35521
↖ ↑ ↗
← N 63.311449°
W 17.377624°		 ← 137.15 m → N 63.311449°
W 17.374878°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 63.310215°
W 17.377624°		 ← 137.16 m →
18 813 m²		 N 63.310215°
W 17.374878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451732635498047 y=0.271007537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451732635498047 × 217)
    floor (0.451732635498047 × 131072)
    floor (59209.5)     		tx = 59209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271007537841797 × 217)
    floor (0.271007537841797 × 131072)
    floor (35521.5)     		ty = 35521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59209 / 35521 ti = "17/59209/35521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59209/35521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59209 ÷ 217
    59209 ÷ 131072     		x = 0.451728820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35521 ÷ 217
    35521 ÷ 131072     		y = 0.271003723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451728820800781 × 2 - 1) × π
    -0.0965423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30329676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271003723144531 × 2 - 1) × π
    0.457992553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.43882604209599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30329676} λ = -0.30329676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43882604209599))-π/2
    2×atan(4.21574380507724)-π/2
    2×1.33789478481257-π/2
    2.67578956962515-1.57079632675     		φ = 1.10499324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30329676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.377624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10499324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.311449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59209 KachelY 35521 -0.30329676 1.10499324 -17.377624 63.311449
    Oben rechts KachelX + 1 59210 KachelY 35521 -0.30324883 1.10499324 -17.374878 63.311449
    Unten links KachelX 59209 KachelY + 1 35522 -0.30329676 1.10497171 -17.377624 63.310215
    Unten rechts KachelX + 1 59210 KachelY + 1 35522 -0.30324883 1.10497171 -17.374878 63.310215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10499324-1.10497171) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10499324-1.10497171) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30329676--0.30324883) × cos(1.10499324) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449140473060032 × 6371000     		do = 137.150446608697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30329676--0.30324883) × cos(1.10497171) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449159709174599 × 6371000     		du = 137.15632058769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10499324)-sin(1.10497171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449140473060032-0.449159709174599)×R²
    abs(-0.30324883--0.30329676)×1.92361145677222e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92361145677222e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92361145677222e-05×40589641000000     		ar = 18813.0045753963m²