Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59209 / 35517
↖ ↑ ↗
← N 63.316383°
W 17.377624°		 ← 137.13 m → N 63.316383°
W 17.374878°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 63.315150°
W 17.377624°		 ← 137.13 m →
18 810 m²		 N 63.315150°
W 17.374878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451732635498047 y=0.270977020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451732635498047 × 217)
    floor (0.451732635498047 × 131072)
    floor (59209.5)     		tx = 59209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270977020263672 × 217)
    floor (0.270977020263672 × 131072)
    floor (35517.5)     		ty = 35517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59209 / 35517 ti = "17/59209/35517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59209/35517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59209 ÷ 217
    59209 ÷ 131072     		x = 0.451728820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35517 ÷ 217
    35517 ÷ 131072     		y = 0.270973205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451728820800781 × 2 - 1) × π
    -0.0965423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30329676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270973205566406 × 2 - 1) × π
    0.458053588867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.43901778969447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30329676} λ = -0.30329676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43901778969447))-π/2
    2×atan(4.21655224133305)-π/2
    2×1.33793784192747-π/2
    2.67587568385493-1.57079632675     		φ = 1.10507936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30329676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.377624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10507936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.316383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59209 KachelY 35517 -0.30329676 1.10507936 -17.377624 63.316383
    Oben rechts KachelX + 1 59210 KachelY 35517 -0.30324883 1.10507936 -17.374878 63.316383
    Unten links KachelX 59209 KachelY + 1 35518 -0.30329676 1.10505783 -17.377624 63.315150
    Unten rechts KachelX + 1 59210 KachelY + 1 35518 -0.30324883 1.10505783 -17.374878 63.315150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10507936-1.10505783) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10507936-1.10505783) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30329676--0.30324883) × cos(1.10507936) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.4490635265199 × 6371000     		do = 137.126950057001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30329676--0.30324883) × cos(1.10505783) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		du = 137.132824290277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10507936)-sin(1.10505783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4490635265199-0.449082763467194)×R²
    abs(-0.30324883--0.30329676)×1.92369472941101e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92369472941101e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92369472941101e-05×40589641000000     		ar = 18809.7816265371m²