Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59207 / 85466
↖ ↑ ↗
← S 47.920024°
W 17.383118°		 ← 204.69 m → S 47.920024°
W 17.380371°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 47.921864°
W 17.383118°		 ← 204.68 m →
41 886 m²		 S 47.921864°
W 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451717376708984 y=0.652057647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451717376708984 × 217)
    floor (0.451717376708984 × 131072)
    floor (59207.5)     		tx = 59207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652057647705078 × 217)
    floor (0.652057647705078 × 131072)
    floor (85466.5)     		ty = 85466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59207 / 85466 ti = "17/59207/85466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59207/85466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59207 ÷ 217
    59207 ÷ 131072     		x = 0.451713562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85466 ÷ 217
    85466 ÷ 131072     		y = 0.652053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451713562011719 × 2 - 1) × π
    -0.0965728759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30339264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.304107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.955382409427719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30339264} λ = -0.30339264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955382409427719))-π/2
    2×atan(0.384665016894295)-π/2
    2×0.367217069465891-π/2
    0.734434138931781-1.57079632675     		φ = -0.83636219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30339264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.383118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83636219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.920024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59207 KachelY 85466 -0.30339264 -0.83636219 -17.383118 -47.920024
    Oben rechts KachelX + 1 59208 KachelY 85466 -0.30334470 -0.83636219 -17.380371 -47.920024
    Unten links KachelX 59207 KachelY + 1 85467 -0.30339264 -0.83639431 -17.383118 -47.921864
    Unten rechts KachelX + 1 59208 KachelY + 1 85467 -0.30334470 -0.83639431 -17.380371 -47.921864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83636219--0.83639431) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83636219--0.83639431) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30339264--0.30334470) × cos(-0.83636219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670167273571149 × 6371000     		do = 204.686335454116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30339264--0.30334470) × cos(-0.83639431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670143433437191 × 6371000     		du = 204.679054063561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83636219)-sin(-0.83639431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670167273571149-0.670143433437191)×R²
    abs(-0.30334470--0.30339264)×2.38401339580641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38401339580641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38401339580641e-05×40589641000000     		ar = 41885.5543631993m²