Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59206 / 35526
↖ ↑ ↗
← N 63.305281°
W 17.385864°		 ← 137.18 m → N 63.305281°
W 17.383118°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 63.304046°
W 17.385864°		 ← 137.19 m →
18 826 m²		 N 63.304046°
W 17.383118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451709747314453 y=0.271045684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451709747314453 × 217)
    floor (0.451709747314453 × 131072)
    floor (59206.5)     		tx = 59206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271045684814453 × 217)
    floor (0.271045684814453 × 131072)
    floor (35526.5)     		ty = 35526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59206 / 35526 ti = "17/59206/35526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59206/35526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59206 ÷ 217
    59206 ÷ 131072     		x = 0.451705932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35526 ÷ 217
    35526 ÷ 131072     		y = 0.271041870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451705932617188 × 2 - 1) × π
    -0.096588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30344057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271041870117188 × 2 - 1) × π
    0.457916259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43858635759789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30344057} λ = -0.30344057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43858635759789))-π/2
    2×atan(4.21473347772394)-π/2
    2×1.33784095304475-π/2
    2.6756819060895-1.57079632675     		φ = 1.10488558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30344057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.385864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10488558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.305281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59206 KachelY 35526 -0.30344057 1.10488558 -17.385864 63.305281
    Oben rechts KachelX + 1 59207 KachelY 35526 -0.30339264 1.10488558 -17.383118 63.305281
    Unten links KachelX 59206 KachelY + 1 35527 -0.30344057 1.10486404 -17.385864 63.304046
    Unten rechts KachelX + 1 59207 KachelY + 1 35527 -0.30339264 1.10486404 -17.383118 63.304046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10488558-1.10486404) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10488558-1.10486404) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30344057--0.30339264) × cos(1.10488558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44923666048487 × 6371000     		do = 137.179818596165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30344057--0.30339264) × cos(1.10486404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449255904492264 × 6371000     		du = 137.185694985328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10488558)-sin(1.10486404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44923666048487-0.449255904492264)×R²
    abs(-0.30339264--0.30344057)×1.92440073935041e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92440073935041e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92440073935041e-05×40589641000000     		ar = 18825.773539937m²