Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59205 / 85474
↖ ↑ ↗
← S 47.934747°
W 17.388611°		 ← 204.63 m → S 47.934747°
W 17.385864°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
S 47.936587°
W 17.388611°		 ← 204.62 m →
41 861 m²		 S 47.936587°
W 17.385864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451702117919922 y=0.652118682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451702117919922 × 217)
    floor (0.451702117919922 × 131072)
    floor (59205.5)     		tx = 59205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652118682861328 × 217)
    floor (0.652118682861328 × 131072)
    floor (85474.5)     		ty = 85474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59205 / 85474 ti = "17/59205/85474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59205/85474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59205 ÷ 217
    59205 ÷ 131072     		x = 0.451698303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85474 ÷ 217
    85474 ÷ 131072     		y = 0.652114868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451698303222656 × 2 - 1) × π
    -0.0966033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30348851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652114868164062 × 2 - 1) × π
    -0.304229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.95576590462468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30348851} λ = -0.30348851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95576590462468))-π/2
    2×atan(0.384517527990329)-π/2
    2×0.367088584788135-π/2
    0.734177169576271-1.57079632675     		φ = -0.83661916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30348851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.388611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83661916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.934747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59205 KachelY 85474 -0.30348851 -0.83661916 -17.388611 -47.934747
    Oben rechts KachelX + 1 59206 KachelY 85474 -0.30344057 -0.83661916 -17.385864 -47.934747
    Unten links KachelX 59205 KachelY + 1 85475 -0.30348851 -0.83665127 -17.388611 -47.936587
    Unten rechts KachelX + 1 59206 KachelY + 1 85475 -0.30344057 -0.83665127 -17.385864 -47.936587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83661916--0.83665127) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dl = 204.572809999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83661916--0.83665127) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dr = 204.572809999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30348851--0.30344057) × cos(-0.83661916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669976525718309 × 6371000     		do = 204.62807615001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30348851--0.30344057) × cos(-0.83665127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669952687477797 × 6371000     		du = 204.620795337761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83661916)-sin(-0.83665127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669976525718309-0.669952687477797)×R²
    abs(-0.30344057--0.30348851)×2.38382405122195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38382405122195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38382405122195e-05×40589641000000     		ar = 41860.5958183192m²