Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59205 / 85468
↖ ↑ ↗
← S 47.923705°
W 17.388611°		 ← 204.67 m → S 47.923705°
W 17.385864°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
S 47.925545°
W 17.388611°		 ← 204.66 m →
41 883 m²		 S 47.925545°
W 17.385864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451702117919922 y=0.652072906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451702117919922 × 217)
    floor (0.451702117919922 × 131072)
    floor (59205.5)     		tx = 59205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652072906494141 × 217)
    floor (0.652072906494141 × 131072)
    floor (85468.5)     		ty = 85468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59205 / 85468 ti = "17/59205/85468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59205/85468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59205 ÷ 217
    59205 ÷ 131072     		x = 0.451698303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85468 ÷ 217
    85468 ÷ 131072     		y = 0.652069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451698303222656 × 2 - 1) × π
    -0.0966033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30348851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.30413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955478283226959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30348851} λ = -0.30348851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955478283226959))-π/2
    2×atan(0.384628139365514)-π/2
    2×0.367184944867498-π/2
    0.734369889734995-1.57079632675     		φ = -0.83642644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30348851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.388611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83642644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.923705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59205 KachelY 85468 -0.30348851 -0.83642644 -17.388611 -47.923705
    Oben rechts KachelX + 1 59206 KachelY 85468 -0.30344057 -0.83642644 -17.385864 -47.923705
    Unten links KachelX 59205 KachelY + 1 85469 -0.30348851 -0.83645856 -17.388611 -47.925545
    Unten rechts KachelX + 1 59206 KachelY + 1 85469 -0.30344057 -0.83645856 -17.385864 -47.925545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83642644--0.83645856) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83642644--0.83645856) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30348851--0.30344057) × cos(-0.83642644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670119585189319 × 6371000     		do = 204.671770194806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30348851--0.30344057) × cos(-0.83645856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670095743672404 × 6371000     		du = 204.66448838186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83642644)-sin(-0.83645856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670119585189319-0.670095743672404)×R²
    abs(-0.30344057--0.30348851)×2.38415169150352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38415169150352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38415169150352e-05×40589641000000     		ar = 41882.5737359892m²