Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59204 / 81724
↖ ↑ ↗
← S 40.572240°
W 17.391358°		 ← 232 m → S 40.572240°
W 17.388611°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.574327°
W 17.391358°		 ← 231.99 m →
53 830 m²		 S 40.574327°
W 17.388611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451694488525391 y=0.623508453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451694488525391 × 217)
    floor (0.451694488525391 × 131072)
    floor (59204.5)     		tx = 59204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623508453369141 × 217)
    floor (0.623508453369141 × 131072)
    floor (81724.5)     		ty = 81724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59204 / 81724 ti = "17/59204/81724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59204/81724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59204 ÷ 217
    59204 ÷ 131072     		x = 0.451690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81724 ÷ 217
    81724 ÷ 131072     		y = 0.623504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.09661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30353645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.776002531049469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30353645} λ = -0.30353645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776002531049469))-π/2
    2×atan(0.460242142595988)-π/2
    2×0.431338575923471-π/2
    0.862677151846943-1.57079632675     		φ = -0.70811917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30353645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.391358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70811917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.572240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59204 KachelY 81724 -0.30353645 -0.70811917 -17.391358 -40.572240
    Oben rechts KachelX + 1 59205 KachelY 81724 -0.30348851 -0.70811917 -17.388611 -40.572240
    Unten links KachelX 59204 KachelY + 1 81725 -0.30353645 -0.70815559 -17.391358 -40.574327
    Unten rechts KachelX + 1 59205 KachelY + 1 81725 -0.30348851 -0.70815559 -17.388611 -40.574327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70811917--0.70815559) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dl = 232.031819999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70811917--0.70815559) × R
    3.6419999999926e-05 × 6371000     		dr = 232.031819999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30353645--0.30348851) × cos(-0.70811917) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.759586522418911 × 6371000     		do = 231.997275703939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30353645--0.30348851) × cos(-0.70815559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.75956283411883 × 6371000     		du = 231.990040687357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70811917)-sin(-0.70815559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759586522418911-0.75956283411883)×R²
    abs(-0.30348851--0.30353645)×2.36883000814814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36883000814814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36883000814814e-05×40589641000000     		ar = 53829.9107454755m²