Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59204 / 38724
↖ ↑ ↗
← N 59.080094°
W 17.391358°		 ← 156.94 m → N 59.080094°
W 17.388611°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.078683°
W 17.391358°		 ← 156.95 m →
24 627 m²		 N 59.078683°
W 17.388611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451694488525391 y=0.295444488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451694488525391 × 217)
    floor (0.451694488525391 × 131072)
    floor (59204.5)     		tx = 59204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295444488525391 × 217)
    floor (0.295444488525391 × 131072)
    floor (38724.5)     		ty = 38724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59204 / 38724 ti = "17/59204/38724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59204/38724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59204 ÷ 217
    59204 ÷ 131072     		x = 0.451690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38724 ÷ 217
    38724 ÷ 131072     		y = 0.295440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.09661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30353645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295440673828125 × 2 - 1) × π
    0.40911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28528415261295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30353645} λ = -0.30353645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28528415261295))-π/2
    2×atan(3.61569522050528)-π/2
    2×1.30096924321829-π/2
    2.60193848643657-1.57079632675     		φ = 1.03114216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30353645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.391358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03114216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.080094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59204 KachelY 38724 -0.30353645 1.03114216 -17.391358 59.080094
    Oben rechts KachelX + 1 59205 KachelY 38724 -0.30348851 1.03114216 -17.388611 59.080094
    Unten links KachelX 59204 KachelY + 1 38725 -0.30353645 1.03111753 -17.391358 59.078683
    Unten rechts KachelX + 1 59205 KachelY + 1 38725 -0.30348851 1.03111753 -17.388611 59.078683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03114216-1.03111753) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03114216-1.03111753) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30353645--0.30348851) × cos(1.03114216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513839336771217 × 6371000     		do = 156.939759674537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30353645--0.30348851) × cos(1.03111753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513860466358261 × 6371000     		du = 156.946213194296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03114216)-sin(1.03111753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513839336771217-0.513860466358261)×R²
    abs(-0.30348851--0.30353645)×2.11295870439221e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11295870439221e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11295870439221e-05×40589641000000     		ar = 24627.1371718091m²