Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59201 / 81725
↖ ↑ ↗
← S 40.574327°
W 17.399597°		 ← 231.99 m → S 40.574327°
W 17.396850°		 →
↑
231.97 m
↓
↑
231.97 m
↓
S 40.576413°
W 17.399597°		 ← 231.98 m →
53 813 m²		 S 40.576413°
W 17.396850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451671600341797 y=0.623516082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451671600341797 × 217)
    floor (0.451671600341797 × 131072)
    floor (59201.5)     		tx = 59201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623516082763672 × 217)
    floor (0.623516082763672 × 131072)
    floor (81725.5)     		ty = 81725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59201 / 81725 ti = "17/59201/81725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59201/81725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59201 ÷ 217
    59201 ÷ 131072     		x = 0.451667785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81725 ÷ 217
    81725 ÷ 131072     		y = 0.623512268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451667785644531 × 2 - 1) × π
    -0.0966644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30368026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623512268066406 × 2 - 1) × π
    -0.247024536132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.776050467949089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30368026} λ = -0.30368026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776050467949089))-π/2
    2×atan(0.460220080543395)-π/2
    2×0.43132037009593-π/2
    0.86264074019186-1.57079632675     		φ = -0.70815559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30368026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.399597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70815559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.574327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59201 KachelY 81725 -0.30368026 -0.70815559 -17.399597 -40.574327
    Oben rechts KachelX + 1 59202 KachelY 81725 -0.30363232 -0.70815559 -17.396850 -40.574327
    Unten links KachelX 59201 KachelY + 1 81726 -0.30368026 -0.70819200 -17.399597 -40.576413
    Unten rechts KachelX + 1 59202 KachelY + 1 81726 -0.30363232 -0.70819200 -17.396850 -40.576413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70815559--0.70819200) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dl = 231.968110000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70815559--0.70819200) × R
    3.64100000000978e-05 × 6371000     		dr = 231.968110000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30368026--0.30363232) × cos(-0.70815559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.75956283411883 × 6371000     		do = 231.990040687089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30368026--0.30363232) × cos(-0.70819200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759539151315867 × 6371000     		du = 231.982807349469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70815559)-sin(-0.70819200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75956283411883-0.759539151315867)×R²
    abs(-0.30363232--0.30368026)×2.36828029621661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36828029621661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36828029621661e-05×40589641000000     		ar = 53813.4523312135m²