Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59201 / 59967
↖ ↑ ↗
← S 81.569163°
E145.200806°		 ← 89.55 m → S 81.569163°
E145.206299°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 81.569968°
E145.200806°		 ← 89.54 m →
8 021 m²		 S 81.569968°
E145.206299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903343200683594 y=0.915031433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903343200683594 × 216)
    floor (0.903343200683594 × 65536)
    floor (59201.5)     		tx = 59201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915031433105469 × 216)
    floor (0.915031433105469 × 65536)
    floor (59967.5)     		ty = 59967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59201 / 59967 ti = "16/59201/59967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59201/59967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59201 ÷ 216
    59201 ÷ 65536     		x = 0.903335571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59967 ÷ 216
    59967 ÷ 65536     		y = 0.915023803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.903335571289062 × 2 - 1) × π
    0.806671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.53423214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915023803710938 × 2 - 1) × π
    -0.830047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60767146553181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53423214} λ = 2.53423214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60767146553181))-π/2
    2×atan(0.0737059709924603)-π/2
    2×0.0735729334126896-π/2
    0.147145866825379-1.57079632675     		φ = -1.42365046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53423214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.200806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42365046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.569163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59201 KachelY 59967 2.53423214 -1.42365046 145.200806 -81.569163
    Oben rechts KachelX + 1 59202 KachelY 59967 2.53432801 -1.42365046 145.206299 -81.569163
    Unten links KachelX 59201 KachelY + 1 59968 2.53423214 -1.42366452 145.200806 -81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 59202 KachelY + 1 59968 2.53432801 -1.42366452 145.206299 -81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42365046--1.42366452) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42365046--1.42366452) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53423214-2.53432801) × cos(-1.42365046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146615443272495 × 6371000     		do = 89.5509196439668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53423214-2.53432801) × cos(-1.42366452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 89.5424247612205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42365046)-sin(-1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146615443272495-0.14660153519646)×R²
    abs(2.53432801-2.53423214)×1.39080760347965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39080760347965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39080760347965e-05×40589641000000     		ar = 8021.25599131147m²