Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59200 / 82629
↖ ↑ ↗
← S 42.433593°
W 17.402344°		 ← 225.42 m → S 42.433593°
W 17.399597°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.435620°
W 17.402344°		 ← 225.42 m →
50 811 m²		 S 42.435620°
W 17.399597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451663970947266 y=0.630413055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451663970947266 × 217)
    floor (0.451663970947266 × 131072)
    floor (59200.5)     		tx = 59200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630413055419922 × 217)
    floor (0.630413055419922 × 131072)
    floor (82629.5)     		ty = 82629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59200 / 82629 ti = "17/59200/82629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59200/82629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59200 ÷ 217
    59200 ÷ 131072     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82629 ÷ 217
    82629 ÷ 131072     		y = 0.630409240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630409240722656 × 2 - 1) × π
    -0.260818481445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.81938542520562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81938542520562))-π/2
    2×atan(0.440702415892545)-π/2
    2×0.415095207342509-π/2
    0.830190414685019-1.57079632675     		φ = -0.74060591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74060591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.433593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59200 KachelY 82629 -0.30372820 -0.74060591 -17.402344 -42.433593
    Oben rechts KachelX + 1 59201 KachelY 82629 -0.30368026 -0.74060591 -17.399597 -42.433593
    Unten links KachelX 59200 KachelY + 1 82630 -0.30372820 -0.74064129 -17.402344 -42.435620
    Unten rechts KachelX + 1 59201 KachelY + 1 82630 -0.30368026 -0.74064129 -17.399597 -42.435620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74060591--0.74064129) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dl = 225.405980000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74060591--0.74064129) × R
    3.53800000000293e-05 × 6371000     		dr = 225.405980000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30368026) × cos(-0.74060591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.73805986541021 × 6371000     		do = 225.422480557327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30368026) × cos(-0.74064129) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738035992815729 × 6371000     		du = 225.415189252492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74060591)-sin(-0.74064129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73805986541021-0.738035992815729)×R²
    abs(-0.30368026--0.30372820)×2.38725944807783e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38725944807783e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38725944807783e-05×40589641000000     		ar = 50810.7533975747m²