Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59200 / 59712
↖ ↑ ↗
← S 81.361287°
E145.195312°		 ← 91.75 m → S 81.361287°
E145.200806°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 81.362113°
E145.195312°		 ← 91.74 m →
8 417 m²		 S 81.362113°
E145.200806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903327941894531 y=0.911140441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903327941894531 × 216)
    floor (0.903327941894531 × 65536)
    floor (59200.5)     		tx = 59200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911140441894531 × 216)
    floor (0.911140441894531 × 65536)
    floor (59712.5)     		ty = 59712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59200 / 59712 ti = "16/59200/59712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59200/59712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59200 ÷ 216
    59200 ÷ 65536     		x = 0.9033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59712 ÷ 216
    59712 ÷ 65536     		y = 0.9111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53413626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    -0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53413626} λ = 2.53413626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58322364672559))-π/2
    2×atan(0.0755301286980328)-π/2
    2×0.0753869902240554-π/2
    0.150773980448111-1.57079632675     		φ = -1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53413626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59200 KachelY 59712 2.53413626 -1.42002235 145.195312 -81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 59201 KachelY 59712 2.53423214 -1.42002235 145.200806 -81.361287
    Unten links KachelX 59200 KachelY + 1 59713 2.53413626 -1.42003675 145.195312 -81.362113
    Unten rechts KachelX + 1 59201 KachelY + 1 59713 2.53423214 -1.42003675 145.200806 -81.362113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42002235--1.42003675) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42002235--1.42003675) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53413626-2.53423214) × cos(-1.42002235) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 91.7519530078469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53413626-2.53423214) × cos(-1.42003675) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150189136857965 × 6371000     		du = 91.7432565295502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42002235)-sin(-1.42003675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150189136857965)×R²
    abs(2.53423214-2.53413626)×1.42366493026402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42366493026402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42366493026402e-05×40589641000000     		ar = 8417.14545593114m²