Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59200 / 38720
↖ ↑ ↗
← N 59.085739°
W 17.402344°		 ← 156.91 m → N 59.085739°
W 17.399597°		 →
↑
156.92 m
↓
↑
156.92 m
↓
N 59.084327°
W 17.402344°		 ← 156.92 m →
24 623 m²		 N 59.084327°
W 17.399597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451663970947266 y=0.295413970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451663970947266 × 217)
    floor (0.451663970947266 × 131072)
    floor (59200.5)     		tx = 59200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295413970947266 × 217)
    floor (0.295413970947266 × 131072)
    floor (38720.5)     		ty = 38720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59200 / 38720 ti = "17/59200/38720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59200/38720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59200 ÷ 217
    59200 ÷ 131072     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38720 ÷ 217
    38720 ÷ 131072     		y = 0.29541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29541015625 × 2 - 1) × π
    0.4091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28547590021143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28547590021143))-π/2
    2×atan(3.61638858785429)-π/2
    2×1.30101850289599-π/2
    2.60203700579198-1.57079632675     		φ = 1.03124068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03124068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.085739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59200 KachelY 38720 -0.30372820 1.03124068 -17.402344 59.085739
    Oben rechts KachelX + 1 59201 KachelY 38720 -0.30368026 1.03124068 -17.399597 59.085739
    Unten links KachelX 59200 KachelY + 1 38721 -0.30372820 1.03121605 -17.402344 59.084327
    Unten rechts KachelX + 1 59201 KachelY + 1 38721 -0.30368026 1.03121605 -17.399597 59.084327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03124068-1.03121605) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dl = 156.917729999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03124068-1.03121605) × R
    2.462999999997e-05 × 6371000     		dr = 156.917729999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30368026) × cos(1.03124068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51375481530603 × 6371000     		do = 156.913944643486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30368026) × cos(1.03121605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513775946139853 × 6371000     		du = 156.920398544044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03124068)-sin(1.03121605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51375481530603-0.513775946139853)×R²
    abs(-0.30368026--0.30372820)×2.11308338227134e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11308338227134e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11308338227134e-05×40589641000000     		ar = 24623.0863656219m²