Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5920 / 2912
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W114.960937°		 ← 183.49 m → N 81.361287°
W114.949951°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 81.359637°
W114.960937°		 ← 183.53 m →
33 683 m²		 N 81.359637°
W114.949951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.180679321289062 y=0.0888824462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.180679321289062 × 215)
    floor (0.180679321289062 × 32768)
    floor (5920.5)     		tx = 5920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0888824462890625 × 215)
    floor (0.0888824462890625 × 32768)
    floor (2912.5)     		ty = 2912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5920 / 2912 ti = "15/5920/2912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5920/2912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5920 ÷ 215
    5920 ÷ 32768     		x = 0.1806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2912 ÷ 215
    2912 ÷ 32768     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1806640625 × 2 - 1) × π
    -0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00644687} λ = -2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5920 KachelY 2912 -2.00644687 1.42002235 -114.960937 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 5921 KachelY 2912 -2.00625512 1.42002235 -114.949951 81.361287
    Unten links KachelX 5920 KachelY + 1 2913 -2.00644687 1.41999354 -114.960937 81.359637
    Unten rechts KachelX + 1 5921 KachelY + 1 2913 -2.00625512 1.41999354 -114.949951 81.359637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41999354) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41999354) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00644687--2.00625512) × cos(1.42002235) × R
    0.000191749999999935 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 183.494336558826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00644687--2.00625512) × cos(1.41999354) × R
    0.000191749999999935 × 0.150231856598939 × 6371000     		du = 183.529132621573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41999354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150231856598939)×R²
    abs(-2.00625512--2.00644687)×2.84830916716661e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84830916716661e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84830916716661e-05×40589641000000     		ar = 33683.3054531576m²