Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 592 / 334
↖ ↑ ↗
← N 81.748454°
W127.968750°		 ← 1 402.61 m → N 81.748454°
W127.880860°		 →
↑
1 403.66 m
↓
↑
1 403.66 m
↓
N 81.735831°
W127.968750°		 ← 1 404.74 m →
1 970 285 m²		 N 81.735831°
W127.880860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1446533203125 y=0.0816650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1446533203125 × 212)
    floor (0.1446533203125 × 4096)
    floor (592.5)     		tx = 592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0816650390625 × 212)
    floor (0.0816650390625 × 4096)
    floor (334.5)     		ty = 334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 592 / 334 ti = "12/592/334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/592/334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 592 ÷ 212
    592 ÷ 4096     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 334 ÷ 212
    334 ÷ 4096     		y = 0.08154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08154296875 × 2 - 1) × π
    0.8369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62924307036084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62924307036084))-π/2
    2×atan(13.8632724079176)-π/2
    2×1.49878800341259-π/2
    2.99757600682518-1.57079632675     		φ = 1.42677968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42677968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.748454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 592 KachelY 334 -2.23347603 1.42677968 -127.968750 81.748454
    Oben rechts KachelX + 1 593 KachelY 334 -2.23194205 1.42677968 -127.880860 81.748454
    Unten links KachelX 592 KachelY + 1 335 -2.23347603 1.42655936 -127.968750 81.735831
    Unten rechts KachelX + 1 593 KachelY + 1 335 -2.23194205 1.42655936 -127.880860 81.735831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42677968-1.42655936) × R
    0.000220320000000163 × 6371000     		dl = 1403.65872000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42677968-1.42655936) × R
    0.000220320000000163 × 6371000     		dr = 1403.65872000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23194205) × cos(1.42677968) × R
    0.00153398000000005 × 0.143519326202442 × 6371000     		do = 1402.61244894715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23194205) × cos(1.42655936) × R
    0.00153398000000005 × 0.1437373618578 × 6371000     		du = 1404.74330848092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42677968)-sin(1.42655936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143519326202442-0.1437373618578)×R²
    abs(-2.23194205--2.23347603)×0.000218035655357635×R²
    0.00153398000000005×0.000218035655357635×6371000²
    0.00153398000000005×0.000218035655357635×40589641000000     		ar = 1970284.70249855m²