Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59199 / 82635
↖ ↑ ↗
← S 42.445755°
W 17.405090°		 ← 225.33 m → S 42.445755°
W 17.402344°		 →
↑
225.41 m
↓
↑
225.41 m
↓
S 42.447782°
W 17.405090°		 ← 225.32 m →
50 790 m²		 S 42.447782°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451656341552734 y=0.630458831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451656341552734 × 217)
    floor (0.451656341552734 × 131072)
    floor (59199.5)     		tx = 59199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630458831787109 × 217)
    floor (0.630458831787109 × 131072)
    floor (82635.5)     		ty = 82635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59199 / 82635 ti = "17/59199/82635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59199/82635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59199 ÷ 217
    59199 ÷ 131072     		x = 0.451652526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82635 ÷ 217
    82635 ÷ 131072     		y = 0.630455017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451652526855469 × 2 - 1) × π
    -0.0966949462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30377613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630455017089844 × 2 - 1) × π
    -0.260910034179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.81967304660334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30377613} λ = -0.30377613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81967304660334))-π/2
    2×atan(0.440575678674749)-π/2
    2×0.414989076737092-π/2
    0.829978153474183-1.57079632675     		φ = -0.74081817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30377613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.405090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74081817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.445755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59199 KachelY 82635 -0.30377613 -0.74081817 -17.405090 -42.445755
    Oben rechts KachelX + 1 59200 KachelY 82635 -0.30372820 -0.74081817 -17.402344 -42.445755
    Unten links KachelX 59199 KachelY + 1 82636 -0.30377613 -0.74085355 -17.405090 -42.447782
    Unten rechts KachelX + 1 59200 KachelY + 1 82636 -0.30372820 -0.74085355 -17.402344 -42.447782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74081817--0.74085355) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dl = 225.405979999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74081817--0.74085355) × R
    3.53799999999183e-05 × 6371000     		dr = 225.405979999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30377613--0.30372820) × cos(-0.74081817) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.737916629484274 × 6371000     		do = 225.331719949953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30377613--0.30372820) × cos(-0.74085355) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.73789275134777 × 6371000     		du = 225.324428473717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74081817)-sin(-0.74085355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737916629484274-0.73789275134777)×R²
    abs(-0.30372820--0.30377613)×2.38781365048402e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38781365048402e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38781365048402e-05×40589641000000     		ar = 50790.2953944238m²