Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59198 / 35262
↖ ↑ ↗
← N 63.629185°
W 17.407837°		 ← 135.66 m → N 63.629185°
W 17.405090°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
N 63.627965°
W 17.407837°		 ← 135.67 m →
18 402 m²		 N 63.627965°
W 17.405090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451648712158203 y=0.269031524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451648712158203 × 217)
    floor (0.451648712158203 × 131072)
    floor (59198.5)     		tx = 59198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269031524658203 × 217)
    floor (0.269031524658203 × 131072)
    floor (35262.5)     		ty = 35262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59198 / 35262 ti = "17/59198/35262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59198/35262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59198 ÷ 217
    59198 ÷ 131072     		x = 0.451644897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35262 ÷ 217
    35262 ÷ 131072     		y = 0.269027709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451644897460938 × 2 - 1) × π
    -0.096710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30382407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269027709960938 × 2 - 1) × π
    0.461944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45124169909758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30382407} λ = -0.30382407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45124169909758))-π/2
    2×atan(4.26841130844634)-π/2
    2×1.34066755004913-π/2
    2.68133510009826-1.57079632675     		φ = 1.11053877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30382407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.407837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11053877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.629185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59198 KachelY 35262 -0.30382407 1.11053877 -17.407837 63.629185
    Oben rechts KachelX + 1 59199 KachelY 35262 -0.30377613 1.11053877 -17.405090 63.629185
    Unten links KachelX 59198 KachelY + 1 35263 -0.30382407 1.11051748 -17.407837 63.627965
    Unten rechts KachelX + 1 59199 KachelY + 1 35263 -0.30377613 1.11051748 -17.405090 63.627965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11053877-1.11051748) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11053877-1.11051748) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30382407--0.30377613) × cos(1.11053877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44417887664753 × 6371000     		do = 135.663662092509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30382407--0.30377613) × cos(1.11051748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444197951069565 × 6371000     		du = 135.669487911974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11053877)-sin(1.11051748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44417887664753-0.444197951069565)×R²
    abs(-0.30377613--0.30382407)×1.90744220350259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90744220350259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90744220350259e-05×40589641000000     		ar = 18401.6229442378m²