Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59197 / 38716
↖ ↑ ↗
← N 59.091382°
W 17.410584°		 ← 156.89 m → N 59.091382°
W 17.407837°		 →
↑
156.85 m
↓
↑
156.85 m
↓
N 59.089972°
W 17.410584°		 ← 156.89 m →
24 609 m²		 N 59.089972°
W 17.407837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451641082763672 y=0.295383453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451641082763672 × 217)
    floor (0.451641082763672 × 131072)
    floor (59197.5)     		tx = 59197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295383453369141 × 217)
    floor (0.295383453369141 × 131072)
    floor (38716.5)     		ty = 38716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59197 / 38716 ti = "17/59197/38716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59197/38716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59197 ÷ 217
    59197 ÷ 131072     		x = 0.451637268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38716 ÷ 217
    38716 ÷ 131072     		y = 0.295379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451637268066406 × 2 - 1) × π
    -0.0967254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30387201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295379638671875 × 2 - 1) × π
    0.40924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28566764780991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30387201} λ = -0.30387201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28566764780991))-π/2
    2×atan(3.61708208816757)-π/2
    2×1.30106775447078-π/2
    2.60213550894156-1.57079632675     		φ = 1.03133918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30387201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.410584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03133918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.091382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59197 KachelY 38716 -0.30387201 1.03133918 -17.410584 59.091382
    Oben rechts KachelX + 1 59198 KachelY 38716 -0.30382407 1.03133918 -17.407837 59.091382
    Unten links KachelX 59197 KachelY + 1 38717 -0.30387201 1.03131456 -17.410584 59.089972
    Unten rechts KachelX + 1 59198 KachelY + 1 38717 -0.30382407 1.03131456 -17.407837 59.089972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03133918-1.03131456) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dl = 156.854020000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03133918-1.03131456) × R
    2.46200000000307e-05 × 6371000     		dr = 156.854020000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30387201--0.30382407) × cos(1.03133918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513670306013995 × 6371000     		do = 156.88813333043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30387201--0.30382407) × cos(1.03131456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.513691429514388 × 6371000     		du = 156.894584991169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03133918)-sin(1.03131456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513670306013995-0.513691429514388)×R²
    abs(-0.30382407--0.30387201)×2.11235003931831e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11235003931831e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11235003931831e-05×40589641000000     		ar = 24609.0403888505m²