Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59196 / 45267
↖ ↑ ↗
← N 48.540250°
W 17.413330°		 ← 202.18 m → N 48.540250°
W 17.410584°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
N 48.538432°
W 17.413330°		 ← 202.19 m →
40 884 m²		 N 48.538432°
W 17.410584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451633453369141 y=0.345363616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451633453369141 × 217)
    floor (0.451633453369141 × 131072)
    floor (59196.5)     		tx = 59196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345363616943359 × 217)
    floor (0.345363616943359 × 131072)
    floor (45267.5)     		ty = 45267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59196 / 45267 ti = "17/59196/45267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59196/45267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59196 ÷ 217
    59196 ÷ 131072     		x = 0.451629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45267 ÷ 217
    45267 ÷ 131072     		y = 0.345359802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345359802246094 × 2 - 1) × π
    0.309280395507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.971633018398918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30391994} λ = -0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971633018398918))-π/2
    2×atan(2.64225579047502)-π/2
    2×1.20899175713987-π/2
    2.41798351427973-1.57079632675     		φ = 0.84718719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84718719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.540250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59196 KachelY 45267 -0.30391994 0.84718719 -17.413330 48.540250
    Oben rechts KachelX + 1 59197 KachelY 45267 -0.30387201 0.84718719 -17.410584 48.540250
    Unten links KachelX 59196 KachelY + 1 45268 -0.30391994 0.84715545 -17.413330 48.538432
    Unten rechts KachelX + 1 59197 KachelY + 1 45268 -0.30387201 0.84715545 -17.410584 48.538432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84718719-0.84715545) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dl = 202.215539999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84718719-0.84715545) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dr = 202.215539999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30391994--0.30387201) × cos(0.84718719) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662093741276147 × 6371000     		do = 202.178288886268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30391994--0.30387201) × cos(0.84715545) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662117527566077 × 6371000     		du = 202.185552316048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84718719)-sin(0.84715545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662093741276147-0.662117527566077)×R²
    abs(-0.30387201--0.30391994)×2.37862899307162e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37862899307162e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37862899307162e-05×40589641000000     		ar = 40884.3262559771m²