Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59193 / 38857
↖ ↑ ↗
← N 58.891877°
W 17.421570°		 ← 157.77 m → N 58.891877°
W 17.418823°		 →
↑
157.81 m
↓
↑
157.81 m
↓
N 58.890457°
W 17.421570°		 ← 157.77 m →
24 898 m²		 N 58.890457°
W 17.418823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451610565185547 y=0.296459197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451610565185547 × 217)
    floor (0.451610565185547 × 131072)
    floor (59193.5)     		tx = 59193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296459197998047 × 217)
    floor (0.296459197998047 × 131072)
    floor (38857.5)     		ty = 38857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59193 / 38857 ti = "17/59193/38857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59193/38857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59193 ÷ 217
    59193 ÷ 131072     		x = 0.451606750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38857 ÷ 217
    38857 ÷ 131072     		y = 0.296455383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451606750488281 × 2 - 1) × π
    -0.0967864990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30406375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296455383300781 × 2 - 1) × π
    0.407089233398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.27890854496348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30406375} λ = -0.30406375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27890854496348))-π/2
    2×atan(3.59271629653893)-π/2
    2×1.29932673937478-π/2
    2.59865347874956-1.57079632675     		φ = 1.02785715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30406375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.421570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02785715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.891877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59193 KachelY 38857 -0.30406375 1.02785715 -17.421570 58.891877
    Oben rechts KachelX + 1 59194 KachelY 38857 -0.30401582 1.02785715 -17.418823 58.891877
    Unten links KachelX 59193 KachelY + 1 38858 -0.30406375 1.02783238 -17.421570 58.890457
    Unten rechts KachelX + 1 59194 KachelY + 1 38858 -0.30401582 1.02783238 -17.418823 58.890457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02785715-1.02783238) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dl = 157.809670000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02785715-1.02783238) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dr = 157.809670000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30406375--0.30401582) × cos(1.02785715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516654724729322 × 6371000     		do = 157.766735552534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30406375--0.30401582) × cos(1.02783238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516675932492294 × 6371000     		du = 157.773211598086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02785715)-sin(1.02783238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516654724729322-0.516675932492294)×R²
    abs(-0.30401582--0.30406375)×2.12077629715424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12077629715424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12077629715424e-05×40589641000000     		ar = 24897.6274671465m²