Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59192 / 35512
↖ ↑ ↗
← N 63.322550°
W 17.424316°		 ← 137.13 m → N 63.322550°
W 17.421570°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
N 63.321317°
W 17.424316°		 ← 137.13 m →
18 801 m²		 N 63.321317°
W 17.421570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451602935791016 y=0.270938873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451602935791016 × 217)
    floor (0.451602935791016 × 131072)
    floor (59192.5)     		tx = 59192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270938873291016 × 217)
    floor (0.270938873291016 × 131072)
    floor (35512.5)     		ty = 35512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59192 / 35512 ti = "17/59192/35512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59192/35512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59192 ÷ 217
    59192 ÷ 131072     		x = 0.45159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35512 ÷ 217
    35512 ÷ 131072     		y = 0.27093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45159912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30411169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27093505859375 × 2 - 1) × π
    0.4581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43925747419257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30411169} λ = -0.30411169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43925747419257))-π/2
    2×atan(4.21756300466804)-π/2
    2×1.33799165294842-π/2
    2.67598330589685-1.57079632675     		φ = 1.10518698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30411169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.424316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10518698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.322550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59192 KachelY 35512 -0.30411169 1.10518698 -17.424316 63.322550
    Oben rechts KachelX + 1 59193 KachelY 35512 -0.30406375 1.10518698 -17.421570 63.322550
    Unten links KachelX 59192 KachelY + 1 35513 -0.30411169 1.10516546 -17.424316 63.321317
    Unten rechts KachelX + 1 59193 KachelY + 1 35513 -0.30406375 1.10516546 -17.421570 63.321317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10518698-1.10516546) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10518698-1.10516546) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30411169--0.30406375) × cos(1.10518698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448967365467662 × 6371000     		do = 137.126189833721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30411169--0.30406375) × cos(1.10516546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448986594519989 × 6371000     		du = 137.132062881258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10518698)-sin(1.10516546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448967365467662-0.448986594519989)×R²
    abs(-0.30406375--0.30411169)×1.92290523266525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92290523266525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92290523266525e-05×40589641000000     		ar = 18800.9407704976m²